thumb|300x300px|Illustration af klemmellemaen thumb|300x300px|Når en følge ligger mellem to andre konvergerende følger med samme grænse, konvergerer den også mod denne grænse. I infinitesimalregning er klemmelemaen en sætning om grænsen for en funktion, der er begrænset mellem to andre funktioner.
Klemmelemmean benyttes i infinitesimalregning og matematisk analyse, ofte til at finde grænsen for en funktion via sammenligning med to andre funktioner, hvis grænser er kendte. Den blev først brugt geometrisk af matematikerne Archimedes og Eudoxus i et forsøg på at beregne , og dens moderne fremstilling blev formuleret af Carl Friedrich Gauss .
Opstilling af lemmaen Klemmelemmaen er formelt formuleret på følgende måde.
Lemma:
Lad være et punkt indeholdt i . Lad , , and være funktioner defineret på , udover muligvis på punktet . Antang at for alle i forskellige fra , gælder der og antag yderligere at Så er
Funktionerne og siges at være henholdsvis nedre og øvre grænser for . Her er det ikke et krav, at er et indrepunkt i . Hvis er et endepunkt for , er ovenstående grænser enten venstre- eller højregrænser. En lignende sætning gælder for uendelige intervaller: for eksempel, hvis , så gælder konklusionen, idet grænserne tages som .
Denne sætning gælder også for følger. Lad være to følger, der konvergerer mod , og en følge. Hvis Vi har , så konvergerer også mod .
Bevis Ifølge ovenstående hypoteser har vi, ved at tage grænserne infinum og supremum: så alle ulighederne er faktisk ligheder, og lemmaen følger umiddelbart.
Et direkte bevis, ved hjælp af -definitionen af grænseværdi, ville være at bevise, at for alle reelle findes der en reel således at for alle med vi har Symbolsk set,
Da der gælder at
betyder det at
og
betyder, atså har vi
Vi kan vælge Så, hvis ved at kombinere ( ) og ( ) følger der
hvilket færdiggøre beviset.
Beviset for følger er analogt, ved hjælp af -definition af grænsen for en følge .
Referencer
Referencer
Kategori:Funktioner