thumb|De 5. enhedsrødder afbildet i den komplekse talplan. En enhedsrod er i matematik et komplekst tal der giver 1 når det opløftes i en heltallig eksponent. For eksempel er tallene -1 og begge enhedsrødder, da og .
Definition De 'te enhedsrødder, hvor er et naturligt tal, er de tal, som løser ligningen
De eneste mulige reelle enhedsrødder er tallene 1 og −1: 1 er altid en enhedsrod og -1 vil være det hvis er lige. Men rødderne kan, medmindre andet er specificeret, også være komplekse tal, og her er de 'te enhedsrødder alle på formenBruce E. Meserve (1982). Fundamental Concepts of Algebra. Dover Publications. s. 52. (på engelsk).
Der vil altid være præcis forskellige 'te enhedsrødder.
Primitive enhedsrødder En 'te enhedsrod siges at være primitiv hvis den ikke også er en 'te enhedsrod, hvor er mindre end . Altså, hvis det gælder, at
så er en primitiv 'te enhedsrod.Patrick Morandi (1996). Field and Galois theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 167. Springer. s. 74. (på engelsk).Anders Thorup https://web.math.ku.dk/~thorup/kurser/elmtal-09/at3.pdf.
Hvis er et primtal gælder, at alle 'te enhedsrødder, på nær 1, er primitive.
Egenskaber Enhedsrødder vil altid ligge på enhedscirklen i den komplekse talplan,Politikens Matematiske Opslagsbog s. 68 . og de 'te enhedsrødder danner hjørnerne i en regulær -kant. Derfor er alle afstanden fra alle enhedsrødder og origo (tallet 0 i den komplekse talplan) lig 1. Altså:
,
for alle enhedsrødder .
Opløfter man en 'te enhedsrod i en heltallig eksponent vil man igen få en 'te enhedsrod,Norman R. Reilly (2009). Introduction to Applied Algebraic Systems. Oxford University Press. s. 137. . (på engelsk). da
Dette gælder også for negative eksponenter. Specielt er den reciprokke værdi af en 'te enhedsrod dens komplekst konjugerede, og den er også en 'te enhedsrod:Joseph J. Rotman (2015). Advanced Modern Algebra. Vol. 1 (3rd ed.). American Mathematical Society. s. 129. . (på engelsk).
Relation til Eulers totientfunktion Lad være en primitiv 'te enhedsrod. Da vil tallet være en primitiv 'te enhedsrod for
hvor betegner den største fælles divisor for og .
Dette skyldes, at er det mindste multiplum af , som også er et multiplum af . Altså, er det mindste fælles multiplum af og , . Dermed fås
Derfor, hvis og er indbyrdes primiske, så er også en primitiv 'te enhedsrod. Dette fører til, at antallet af primitive 'te enhedsrødder er lig , hvor er Eulers totientfunktion, da tæller antallet af tal mindre end eller lig , som er indbyrdes primiske med . Dette forklarer også, hvorfor alle 'te enhedsrødder (på nær 1), hvor er et primtal, er primitive.
Referencer
Kategori:Komplekse tal