Ulkomitta on mittateoriassa esiintyvä funktio, jonka avulla halutaan luoda mittoja.
Määritelmä Olkoon joukko. Kuvaus on ulkomitta jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat kolme ehtoa: Tyhjälle joukolle pätee Jos , niin Jos kaikilla , niin .
Ehtoa (2) kutsutaan yleensä monotonisuudeksi tai kasvavuudeksi ja ehtoa (3) subadditiivisuudeksi.
Joukon mitallisuus Jos on ulkomitta :ssä, niin joukkoa kutsutaan -mitalliseksi jos ja vain jos kaikilla pätee . Tätä ehtoa kutsutaan kirjallisuudessa usein Carathéodoryn ehdoksi.
Mitallisuus säilyy komplementoinnissa ja numeroituvissa yhdisteissä. Lisäksi tyhjä joukko on riippumatta ulkomitasta aina mitallinen. Näin ollen itse asiassa mielivaltaisen ulkomitan suhteen mitalliset joukot muodostavat sigma-algebran. Tälle perheelle käytetään joissain lähteissä merkintää missä X ilmaisee perusjoukon ja joukossa annetun ulkomitan.
Ulkomitan ominaisuuksia Jos ovat -mitallisia joukkoja, niin .
Jos ovat -mitallisia joukkoja ja , niin .
Jos joukot , , ovat -mitallisia ja erillisiä, niin .
Viimeisimmästä ominaisuudesta seuraa
Carathéodoryn lause Carathéodoryn lause lause sanoo, että jos on ulkomitta, niin sen rajoittuma -mitallisiin joukkoihin eli funktio on mitta X:ssä.
Erityisiä ulkomittoja Ulkomittaa sanotaan täydelliseksi jos ja vain jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko on mitallinen tämän ulkomitan suhteen. Voidaan osoittaa, että jokainen ulkomitta voidaan täydellistää täydelliseksi ulkomitaksi.
Ulkomitta on säännöllinen jos ja vain jos jokaisella on olemassa -mitallinen joukko s.e. ja . Jos vielä , niin voidaan osoittaa, että säännöllisellä ulkomitalla edellä mainittu mitallisuuskriteeri suppenee muotoon: joukko on -mitallinen jos ja vain jos .
Jos on metrinen avaruus, niin joukon X ulkomittaa sanotaan metriseksi jos ja vain jos ehdosta seuraa ominaisuus kaikilla . Metriset mitat karakterisoivat Borel-ulkomitat. Voidaan osoittaa, että ulkomitta on metrinen jos ja vain jos se on Borel.
Tärkeimpiä esimerkkejä säännöllisistä metrisistä ulkomitoista ovat mm. Hausdorffin mitan ja Lebesguen mitan konstruktioissa esiintyvät ulkomitat.
Funktion mitallisuus Jos on ulkomitta joukossa X ja , niin funktio on -mitallinen jos ja vain jos avointen joukkojen alkukuvat kuvauksessa f ovat -mitallisia. Toisin sanoen joukot , ja ovat -mitallisia kaikilla avoimilla joukoilla .
Funktion mitallisuus voidaan myös karakterisoida seuraavasti: funktio f on -mitallinen jos ja vain jos joukko on -mitallinen kaikilla .
Katso myös Borel-joukko Carathéodoryn konstruktio Hausdorffin mitta Lebesguen mitta
Lähteet
Luokka:Mittateoria