Analyysin peruslauseet ovat lauseita, joiden mukaan kaksi analyysin perusmääritelmää, derivointi ja integrointi, ovat toistensa käänteistoimituksia. Analyysin peruslauseita on väitteen kumpaakin puoliskoa varten yksi, ja niiden nimet ovat analyysin ensimmäinen peruslause ja analyysin toinen peruslause. Siitä, kumpi on kumpi, ei liene täysin yksimielistä käytäntöä.
Analyysin ensimmäinen peruslause
Jos on välillä jatkuva funktio ja jokin sen integraalifunktio, niin F on derivoituva ja pätee:
Lause voidaan kirjoittaa myös muodossa
, missä .
Analyysin toinen peruslause
Olkoot ja funktion primitiivejä (integraalifunktioita). Tällöin löytyy vakio siten, että kaikille x.
Geometrinen tarkastelu thumb|right|320px|Punaisella funktion alue pisteeseen asti. Sininen ja punainen alue yhdessä vastaa :n aluetta asti.
Merkitään kuvasta funktion alueen, eli funktion alle jäävän pinta-alan, kokoa funktiolla (kuvassa punainen alue). Olkoon sinisen alueen leveys . Kun h on pieni saadaan arvio siniselle alueelle:
Toisaalta sininen alue on . Yhdistämällä saadaan:
Siis on :n derivaatta, kun väli lähestyy nollaa.
Tästä seuraa, että derivoinnin käänteisoperaatiolla funktiosta saadaan funktio eli funktion alle jäävä pinta-ala.
Lähteet
Kirjallisuutta
(pdf)
Aiheesta muualla MathWorld. Fundamental Theorems of Calculus
Luokka:Analyysi Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit