Tason yhtenevyyskuvaus eli tason isometria on geometriassa euklidisen tason yhtenevyyskuvaus itselleen eli kuvaus, jossa taso­kuvioiden geometriset ominaisuudet kuten janojen pituus ja kulmat säilyvät. Tason yhtenevyys­kuvauksia on neljää tyyppiä: yhden­suuntais­siirto eli translaatio, kierto eli rotaatio (geometria), peilaus suoran suhteen sekä peilauksen ja translaation yhdistettynä kuvauksena muodostettu liukupeilaus. Joskus mainitaan yhtenä yhtenevyys­kuvauksen tyyppinä myös peilaus pisteen suuntaan, joka kuitenkin on sama kuin 90 asteen kierto.

Euklidisen tason yhtenevyys­kuvaukset muodostavat ryhmän, kaksi­ulotteisen euklidisen ryhmän, jossa lasku­toimituksena on kuvausten yhdistäminen. Jokainen tason yhtenevyys­kuvaus voidaan muodostaa yhdistettynä kuvauksena enintään kolmesta peilauksesta suorien suhteen.

Translaatiossa ja rotaatiossa säilyy myös kätisyys, peilauksessa ja liuku­peilauksessa sen sijaan ei, vaan niissä kuvio muuttuu peilikuvakseen tai sen kaltaiseksi.

Havainnollisia esimerkkejä Tason yhtenevyys­kuvauksia ovat kaikki tavat, joilla tasoa voidaan muuntaa ilman kuvioiden koon tai muodon muutoksia. Voidaan esimerkiksi kuvitella, että tasoa esittää läpi­näkyvä muovi­kalvo pöydällä. Esimerkkejä yhtenevyys­kuvauksista ovat tällöin: siirretään muovi­kalvoa 10 cm oikealle kierretään muovi­kalvoa 10 astetta jonkin merkityn pisteen ympäri, joka itse pysyy paikoillaan käännetään muovi­kalvo ylös­alaisin nostamalla se välillä pois pöydältä. On huomattava, että jos kalvon toiselle puolelle on piirretty jokin kuvio, sen kääntämisen jälkeen kuvio näkyy peilikuvanaan.

Edellä mainitut ovat esimerkkejä translaatiosta, rotaatiosta ja peilauksesta. Näiden lisäksi on vielä yksi yhtenevyys­kuvausten tyyppi, jota sanotaan liuku­peilaukseksi () ja jota käsitellään tarkemmin jäljempänä.

Sen sijaan kalvon taittaminen, leikkaaminen tai sulattaminen eivät vastaa yhtenevyys­kuvauksia, eivät myöskään sen taivuttaminen, venyttäminen tai vääntäminen mutkalle.

Muodollinen määritelmä Euklidisen tason isometria on etäisyydet säilyttävä kuvaus tasolta itselleen. Toisin sanoen se on kuvaus

jossa jokaiselle tason pisteparille p, q pätee

missä d(p, q) on pisteiden p ja q välinen tavanomainen euklidinen etäisyys.

Tason yhtenevyyskuvausten luokittelua Voidaan osoittaa, että tason yhtenevyys­kuvauksia on neljää tyyppiä. On huomattava, että alla olevat kuvaus­tyyppien merkinnät eivät ole täysin standardoituja.

Translaatio, jolle käytetään merkintää Tv missä v on :n vektori. Tämän vaikutus on, että taso siirtyy v:n suuntaan. Ninpä jokaiselle tason pisteelle p on

tai (x, y)-koordinaatistossa,

Rotaatio, jolle käytetään merintää Rc,θ, missä θ on se tason piste, jonka ympäri tasoa kierretään ja θ kiertokulma. Koordi­naatis­tossa rotaatio voidaan helpoimmin ilmaista muodostamalla se kahdesta operaatiosta. Ensiksikin rotaatiota origon ympäri esittää yhtälö

Nämä matriisit ovat orto­gonaalisia matriiseja, joiden determinantti on 1. Toisin sanoen ne ovat sellaisia neliö­matriiseja G, joiden on transpoosi on sama kuin sen käänteismatriisi eli . (Orto­gonaalisen matriisin determinantti voi olla myös −1; tällaiset tapaukset vastaavat peilauksia, kuten jäljempänä todetaan.) Rotaatiot origon ympäri muodostavat myös ryhmän, orto­gonaalisen ryhmän SO(2).

Rotaatio pisteen c ympäri voidaan muodostaa suorittamalla ensin translaatio, jossa c kuvautuu origoon, sitten rotaatio origon ympäri ja lopulta toinen translaatio, jossa origo kuvautuu jälleen pisteeseen c. Tosin sanoen

eli

Vaihtoehtoisesti voidaan suorittaa ensin rotaatio origon ympäri ja sitten translaatio:

Peilaus eli peili-isometria, jolle käytetään merkintää Fc,v, missä c on tason piste ja v :n yksikkövektori. Tämä peilaa pisteen o suoran L suhteen, joka on kohti­suorassa v:tä vastaan ja kulkee c:n kautta. Suoraa L sanotaan peilaus­akseliksi. Jotta Fc,v:lle löytyisi kaava,p − c:n komponentti t vektorin v suunnassa määritetään pistetulon avulla,

minkä jälkeen p:n peilaus saadaan vähennys­laskulla

Jokaista rotaatiota origon ympäri ja peilausta origon kautta kulkevan suoran suhteen vastaa jokin orto­gonaalinen matriisi, jonka determi­nantti on joko 1 tai −1, ja kääntäen. Nämä muodostavat orto­gonaalisen ryhmän O(2). Niissä tapauksissa, joissa determi­nantti on −1, saadaan:

mikä voidaan muodostaa yhdistämällä peilaus x-akselin suhteen ja rotaatio kulman θ verran, tai yhtäpitävästi peilaus sellaisen suoran suhteen, joka muodostaa x-akselin kanssa kulman θ/2. Peilaus yhden­suuntaisen suoran suhteen vastaa sitä, että tähän lisätään jokin sitä vastaan kohti­suora vektori.

Liukupeilaus, jolle käytetään merkintää Gc,v,w, missä c on jokin tason piste, v yksikkövektori :ssa ja w v:n kanssa kohti­suorassa oleva vektori, joka ei ole nollavektori. Tämä on yhdistetty kuvaus, jonka muodostavat peilaus c:n ja v:n määräämän suoran kanssa sekä translaatio w:n suunnassa. Toisin sanoen

eli,

(Pitää myös paikkansa, että

toisin sanoen tulos on sama, jos translaatio ja heijastus suoritetaan päin­vastaisessa järjestyksessä.)

Vaihtoehtoisesti voidaan ensin kertoa orto­gonaalisella matriisilla, jonka determinantti on −1 ja joka vastaa peilausta origon kautta kulkevan suoran suhteen, ja sen jälkeen suorittaa translaatio. Tuloksena on tällöinkin liuku­peilaus, paitsi siinä erikois­tapauksessa, että translaatio on kohti­suorassa peilaus­suoraa vastaan, missä tapauksessa tulos on sama kuin peilattaessa erään toisen, alku­peräisen peilaus­suoran kanssa yhden­suuntaisen suoran suhteen.

Identtinen kuvaus kuvaa jokaisen pisteen itselleen, toisin sanoen I(p) = p kaikille pisteille p. Sekin voidaan käsittää erikois­tapaukseksi sekä translaatiosta että rotaatiosta. Se on ainoa yhtenevyys­kuvaus, joka kuuluu useampaan kuin yhteen edellä luetelluista tyypeistä.

Kaikki tason yhtenevyys­kuvaukset voidaan muodostaa kertomalla orto­gonaalisella matriisilla ja lisäämällä jokin vakio­vektori; jos matriisin determinantti on 1, kyseessä on rotaatio, translaatio tai identtinen kuvaus, ja jos se on −1, on kyseessä liuku­peilaus tai peilaus.

"Satunnainen" yhtenevyys­kuvaus, jota esittää paperi­palan nostaminen pöydältä ja sen palauttaminen sille mieli­valtaiseen kohtaan, on "melkein varmasti" rotaatio tai liuku­peilaus, sillä näillä on kolme vapaus­astetta. Tämä pätee riippumatta todennäköisyysjakaumasta niin kauan kuin θ ja lisätyn vektorin suunta ovat riippumat­tomia ja tasaisesti jakautuneet ja translaatio­vektorin pituudella on jatkuva jakauma. Puhdas translaatio ja puhdas peilaus suoran suhteen ovat erikois­tapauksia, joilla on vain kaksi vapaus­astetta, kun taas identtisellä kuvauksella niitä ei ole yhtään.

Peilausten yhdistelmät Euklidisessa tasossa on seuraavat mahdollisuudet.

right|320px|Yhtenevyyskuvaukset peilauksina [d  ] Identtinen kuvaus Kaksi peilausta saman suoran suhteen palauttaa jokaisen pisteen alku­peräiselle paikalleen. Kaikki pisteet ovat kuvauksen kiinto­pisteitä riippumatta siitä, minkä suoran suhteen taso peilataan kahteen kertaan. [db] Peilaus Peilissä oikea ja vasen käsi vaihtuvat, kätisyys vaihtuu, ja samaan tapaan käy tason peilauksessa suoran suhteen. Matemaattisin termein ilmaistuna, topo­loginen orientaatio kääntyy päin­vastaiseksi. Peilaus­suoralla olevat pisteet pysyvät paikoillaan. Peilaus kahden eri suoran suhteen johtaa aina eri tulokseen. [dp] Kierto eli rotaatio Kaksi toisensa leikkaavaa suoraa, joiden suhteen peilaus suoritetaan. Niillä on yksi yhteinen piste, joka pysyy paikoillaan. Kaikki muut pisteet kiertyvät sen ympäri kulman verran, joka on kaksi kertaa peilaus­suorien välinen kulma. Mitkä tahansa kaksi peilaussuoraa, jotka leikkaavat toisensa samassa pisteessä ja joiden välinen kulma on sama, johtavat samaan tulokseen, kunhan peilaukset suoritetaan samassa järjes­tyk­sessä. [dd] Yhden­suuntais­siirto eli translaatio Kaksi peilaus­suoraa, jotka eivät leikkaa toisiaan, ovat yhden­suuntaisia. Jokainen piste siirtyy saman verran, kaksi kertaa peilaus­suorien välisen etäisyyden verran, ja samaan suuntaan. Mikään piste ei pysy paikallaan. Mitkä tahansa kaksi tietyn suuntaista peilaus­suoraa, joilla on sama keskinäinen väli­matka, johtavat samaan tulokseen, kunhan peilaukset suoritetaan samassa järjestyksessä. [dq] Liukupeilaus Kolme peilaus­suoraa. Jos ne kaikki ovat yhden­suuntaisia, voidaan valita yksi suora, jonka suhteen peilattaessa tulos olisi sama. Muussa tapauksessa voidaan löytää kolme suoraa, joista kaksi on yhden­suuntaisia ja kolmas niitä vastaan kohti­suorassa ja jonka suhteen peilattaessa tulos olisi sama. Tuloksena on peilauksen ja peilaus­suoran suuntaisen translaation yhdistelmä. Kiinto­pisteitä ei ole.

Kolme peilausta riittää Useampien peilaus­suorien lisääminen ei tuo tasossa lisää mahdollisuuksia, sillä ne voidaan aina järjestää uudestaan siten, että osa niistä kumoaa toistensa vaikutukset.

Todistus. Yhtenevyys­kuvauksen määrittää yksi­käsitteisesti kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, ja niiden kuva­pisteet. Oletetaan, että p1, p2 ja p3 kuvautuvat pisteisiin q1, q2 ja q3; tämän aikaan­saamiseksi voidaan seuraavalla tavalla muodostaa kolme peilaus­suoraa. Jos p1 ja q1 ovat kaksi eri pistettä, valitaan peilaus­suoraksi niiden välisen janan keskinormaali. Nyt p1 kuvautuu pisteeseen q1 ja molemmat muut peilaus­suorat voidaan valita niin, että ne kulkevat q1:n kautta ja pitävät sen paikoillaan. Käytetään pisteiden p2 ja p3 kuva­pisteille tässä peilauksessa merkintöjä p2′ ja p3′. Jos q2 ei ole sama kuin p2′, valitaan pisteessä q1 olevan kulman puolittaja uudeksi peilaussuoraksi. Kun p1 ja p2 nyt ovat paikoillaan, p3 on pisteessä p3′′; ja jos se ei ole paikoillaan, kolmas peilaus pisteiden q1 ja q2 kautta kulkevan suoran suhteen kuvaa sen pisteeseen q3. Täten jokainen yhtenevyys­kuvaus voidaan muodostaa yhdistämällä enintään kolmesta peilauksesta. mot.

Tunnistus Mikä näistä yhtenevyys­kuvausten tyypeistä kulloinkin on kyseessä, voidaan seuraavan taulukon mukaisesti tunnistaa sen perusteella, säilyttääkö se kätisyyden vai vaihtaako se sen, ja onko sillä ainakin yksi kiinto­piste. (Identtistä kuvausta ei oteta huomioon.)

! colspan="2" | Säilyykö kätisyys? |- align="center" | || || Kyllä || Ei |- align="center" ! rowspan="2" | Kiintopiste? | align="right" | Kyllä || Rotaatio || Peilaus |- align="center" | align="right" | Ei ||   Translaatio   || Liukupeilaus

Ryhmän rakenne Tason yhtenevyys­kuvausten ryhmää sanotaan euklidiseksi ryhmäksi. Yhtenevyys­kuvaukset, jotka muodostetaan parittomasta määrästä peilauksia - itse peilaus sekä liukupeilaus - vaihtavat aina keskenään vasemman ja oikean. Yhtenevyys­kuvauksella sanotaan olevan parillinen tai pariton pariteetti riippuen siitä, voidaanko muodostaa yhdistämällä parillisesta vai parittomasta määrästä peilauksia. Parilliset yhtenevyys­kuvaukset - identtinen kuvaus sekä translaatio ja rotaatio, eivät koskaan tee niin. Ne voidaan käsittää tason jäykiksi liikkeiksi, ja ne muodostavat tämän ryhmän normaalin aliryhmän. Sen enempää koko euklidinen ryhmä kuin tämä ali­ryhmäkään eivät ole Abelin ryhmiä; esimerkiksi jos taso peilataan kahden yhdensuuntaisen suoran suhteen eri järjestyksissä, tuloksena on kaksi translaatiota päin­vastaisiin suuntiin.