Residylaskenta on tekniikka, jolla voidaan laskea polkuintegraaleja. Tekniikassa käytetään hyödyksi Laurentin sarjaa. Matemaattinen kuvaus Tehtävänä on laskea integraali , missä on yksinkertainen suljettu positiivisesti suunnattu ääriviiva ja on analyyttinen :ssa lukuun ottamatta yksittäistä sisäpuolista pistettä . Tällöin funktio voidaan esittää Laurentin sarjana . Tästä integraalin arvoksi saadaan .Saff ja Snider, s. 307 Tässä kerrointa kutsutaan funktion residyksi pisteessä ja sitä merkitään tai lyhyemmin .Saff ja Snider, s. 308 Esimerkki Tarkastellaan funktiota ja lasketaan sille polkuintegraali pitkin ympyrän kehää .
Ratkaisu: Tiedetään, että funktiolla on residy pisteessä . Funktiolla on Taylorin sarja . Tästä saadaan Laurentin sarjaksi funktiolle pisteen ympäristössä .
Tällöin .
Koska piste on funktion ainoa nollakohta ympyrän sisällä, saadaan integraalin arvoksi .Saff ja Snider, s. 308
Lähteet Saff, Edward B. & Snider, Arthur D.: Fundamentals of Complex Analysis: Engineering, Science, and Mathematics, Pearson 3. painos
Viitteet
Kirjallisuutta
Luokka:Kompleksianalyysi Luokka:Integraalilaskenta