thumb|upright=1.3|Zellige-tyyppiset terrakottalaatat Marrakechissa muodostavat sivu sivua vasten asetettuja, säännöllisiä ja muita tessellaatioita. thumb|upright=1.3|M. C. Escherin taiteellisten tessellaatioiden kunniaksi seinälle Leeuwardeniin kiinnitetty rakennettu koristelaatta
Tessellaatio merkitsee varsinaisesti tasopinnan peittämistä mosaiikkimaisesti tietyn muotoisilla laatoilla tai laatoiksi kutsutuilla kuvioilla siten, että laatat eivät ole osittainkaan päällekkäin eikä niiden väliin jää aukkoja. Matematiikassa tessellaation käsite voidaan yleistää myös kolmeen tai useampaankin ulottuvuuteen ja erilaisiin geometrioihin.
Jaksollisessa laatoituksessa eli tessellaatiossa sama kuvio toistuu säännöllisin välein. Yksinkertaisia tapauksia ovat säännölliset tessellaatiot, joissa laatat ovat yhteneviä säännöllisiä monikulmioita sekä puolisäännölliset (semiregulaariset) laatoitukset, joissa säännöllisiä laattoja on useamman muotoisia, mutta ne kohtaavat toisensa jokaisessa kulmassaan samalla tavalla. Jaksolliset laatoitukset voidaan ryhmitellä 17 tapettiryhmään. Laatoitusta, jossa sama kuvio ei toistu, sanotaan ei-jaksolliseksi. Aperiodisessa laatoituksessa käytetään pientä joukkoa erilaisia laattoja, jotka eivät voi muodostaa toistuvaa kuviota. Useampiulotteisessa geometriassa avaruuden täyttämistä kappaleilla tai hunajakennoilla sanotaan myös avaruuden tessellaatioksi.
Todellinen fyysinen tessellaatio on laatoitus, joka tehdään esimerkiksi sementoiduista keraamista neliöistä tai kuusikulmioita. Sellaisia käytetään usein koristekuvioina, mutta usein myös kestävinä ja vedenpitävinä pinnoitteina seinillä ja lattioilla. Historiallisesti tessellaatioita käytettiin antiikin Roomassa ja islamisessa taiteessa, esimerkiksi Alhambran palatsin koristeellisissa geometrisissa laatoituksissa. 1900-luvulla M. C. Escher käytti monissa teoksissaan taiteellisiin tarkoituksiin sekä tavallisia euklidisia että hyperboliseen geometriaan perustuvia tessellaatioita. Tessellaatioita esiintyy myös luonnossa: esimerkiksi mehiläisten hunajakennoissa esiintyy kuusikulmioista muodostuva tessellaatio.
Historia thumb|left|Temppelin mosaiikkia muinaisessa sumerilaisessa Urukin kaupungista ((3400–3100 eKr.). Väritetut laatat muodostavat tessellaation.
Tessellaatioita käyttivät jo muinaiset sumerit vuoden 4000 eaa. aikoihin rakentaessaan savitiilistä koristeellisia seiniä.
Pienistä neliömäisistä laatoista tehdyt koristeelliset mosaiikkilaatoitukset, joista käytettiin nimitystä tessera, olivat antiikin aikana yleisiä. Joskus niissä oli geometrisia kuviointeja.
Vuonna 1619 Johannes Kepler tutki yhtenä ensimmäisistä tessellaatioita järjestelmällisesti. Teoksessaan Harmonices Mundi hn kirjoitti säännöllisistä ja semiregulaarisista tessellaatiosta. Hän oli mahdollisesti ensimmäinen, joka tutki ja selosti hunajakennojen ja lumihiutaleiden kuusikulmaisia muotoja.
thumb|upright=1.35|Roomalaista geometrista mosaiikkia
Vuonna 1891 venäläinen kristallografi Jevgraf Fjodorov todisti, että jokainen tason jasollinen laatoitus kuuluu johonkin seitsemästätoista erilaisesta isometrioiden ryhmästä. Fjodorovin työn katsotaan useinen merkinneen tessellaatioiden matemaattisen tutkimuksen alkua. Muita alan huomattavia tutkijoita ovat olleet Shubnikov ja Belov vuonna 1964 sekä Heinrich Heesch ja Otto Kienzle vuonna 1963
Sanan alkuperä Latinassa sana tessella tarkoittaa pientä kuutiomaista saven, kiven tai lasin palasta, jota voidaan käyttää mosaiikkeihin. Alun perin sana tarkoittaa pientä neliötä ja johtuu neliötä tarkoittavasta sanasta tessera, joka aikoinaan lainattiin latinaan kreikasta ja on johdos kreikan kielen lukusanasta τέσσερα, neljä. Merkitykseltään sana vastaa arkikielen sanaa laatoitus, jolla viitataan tessellaatioiden usein lasitetusta savesta valmistettuihin sovelluksiin.
Yleiskatsaus
Kaksiulotteinen tessellaatio eli laatoitus on geometrian haara, joka tutkii sitä, miten laatoiksi kutsutut muodot voidaan järjestää annettujen sääntöjen mukaan siten, että niiden väliin ei jää aukkoja. Nämä säännöt voidaan vaihdella. Tavallisimmin edellytetään, että laattojen väliin ei jää aukkoja eikä minkään laatan kärki sijaitse keskellä toisen laatan sivua. Esimerkiksi tiiliä yhteen muurattaessa käytetyt limitykset eivät viimeksi mainittua ehtoa täytä. Sen sijaan esimerkiksi jäljempänä käsitellyt säännölliset tessellaatiot täyttävät tämän ehdon.
Säännölliset tessellaatiot
Säännöllinen tessellaatio on laatoitus, jossa taso täytetään yhtenevillä säännöllisillä monikulmioilla ja jossa jokaisessa kärkipisteessä, joissa laatat kohtaavat toisensa, niiden sivut muodostavat yhtä suuret kulmat. Ainoat säännölliset monikulmiot, joista tällainen laatoitus voidaan muodostaa, ovat tasasivuiset kolmiot, neliöt ja säännölliset kuusikulmiot. Kutakin niistä voidaan sijoittaa yhtenevinä kopiona tasoon loputtomasti niin, että ne peittävät koko tason. Neliöistä muodostuva säännöllinen tessellaatio on samanlainen yksinkertainen ruudukko, joka esiintyy esimerkiksi tavallisella ruutupaperilla.
Muita tessellaatioita thumb|upright|right|Rombitriheksagonaalinen laatoitus. Sevillan arkeologisen museon laatoitettu lattia, joka muodostuu neliöistä, kolmioista ja kuusikulmioista thumb|Kehittynyt ja värikäs lasitiilien muodostama zellige-tessellaatio Alhambrassa Espanjassa
Jos asetettuja vaatimuksia muutetaan, tessellaatioita voidaan muodostaa hyvin monen tyyppisiä. Esimerkiksi on olemassa neljä tyyppiä puolisäännöllisiä tessellaatioita, jotka muodostuvat useammasta kuin yhdestä lajista säännöllisiä monitahokkaita mutta joissa monikulmiot silti kohtaavat toisensa samalla tavalla joksisessa kärjessä. Epäsäännöllisiä tessellaatiota voidaan tehdä myös esimerkiksi viisikulmioista, polyominoista ja melkein mistä tahansa geometrisista muodoista. Taiteilija M. C. Escher tuli kuuluisaksi epäsäännöllisten kuvioiden muodostamista tessellaatioista, joiden laatat olivat usein eläinten tai muiden luonnon kohteiden muotoisia. Valitsemalla eri muotoisille laatoille eri värejä voidaan saada aikaan hyvinkin erikoisia kuvioita, joilla voidaan koristella fyysisiä pintoja kuten kirkkojen lattioita.
Matemaattinen käsittely
Matemaattisesti tessellaatio eli laatoitus voidaan määritellä euklidisen tason peitteeksi, joka muodostuu numeroituvasta määrästä laatoiksi sanottuja suljettuja joukkoja, jotka leikkaavat toisensa vain reunoillaan. Nämä laatat voivat olla monikulmioita tai muun muotoisia. Yleensä kuitenkin edellytetään, että ne ovat homeomorfisia suljetun kiekon kanssa, eivät siis esimerkiksi äärettömän laajoja alueita tai alueita, joissa on reikä keskellä.
Monissa tessellaatioissa on vain äärellinen määrä laatan perustyyppejä, joista yhden kanssa kaikki laatat ovat yhteneviä. On myös mahdollista, että tessellaation kaikki laatat ovat keskenään yhteneviä. Jos jotakin geometrista muotoa voidaan käyttää tällaisena laatan perustyyppinä, jonka kopioilla voidaan peittää koko taso, sanotaan, että muoto tesselloi tai laatoittaa tason.
Ei tunneta yleistä sääntöä, jolla voitaisiin kaikissa tapauksissa ratkaista, voidaanko taso laatoittaa annetun muotoisilla laatoilla. On kuitenkin helppo todistaa, että minkä tahansa muotoisilla kolmioilla, muillakin kuin tasasivuisilla, samoin kuin millä tahansa nelikulmioilla voidaan laatoittaa taso. Conwayn kriteeri on eräs riittävä, mutta ei välttämätön edellytys sille, että annettu muoto laatoittaa tason jaksollisesti ilman, että sitä tarvitsee missään muuntaa peilikuvakseen.
Monikulmioista muodostuville tessellaatiolle on käytössä useita merkitätapoja. Säännöllisistä monikulmioista muodostuville tessellaatiolle yleisin merkintä on kärkikonfiguraatio, joka on luettelo kärjen ympärillä olevien monikulmion sivujen lukumääristä. Esimerkiksi tavallinen neliöruudukko merkitään 4.4.4.4 tai 44. Säännöllisistä kuusikulmioista koostuva laatoitus merkitään 6.6.6 tai 63.
Tessellaatioon liittyviä käsitteitä
Matematiikassa tessellaatioihin liittyy useita teknisiä termejä. Särmä on kahden vierekkäisen laatan yhteisten pisteiden joukko eli leikkaus, joka usein on jana. Kärki on kolmen tai useamman laatan yhteinen piste. Näitä termejä käyttäen isogonaalinen eli kärkitransitiivinen laatoitus määritellään laatoitukseksi, jonka kaikki kärkipisteet ovat samanlaisia, toisin sanoen monikulmiot järjestyvät jokaisen kärjen ympärille samalla tavalla. Perusalue () on muoto, esimerkiksi suorakulmio, joka toistumisesta tessellatio muodostuu. Esimerkiksi tavallisessa neliöistä muodostuvassa ruudukossa perusalueet ovat neliöitä, ja niitä on neljä jokaisen kärjen ympärillä.
Monikulmioiden sivut eivät välttämättä ole samoja kuin laattojen särmät. Esimerkiksi tavallisen tiiliseinän kaltaisessa laatoituksessa näin ei ole, koska jokaisen suorakulmaisen tiilen pitkä sivu rajoittuu kahteen sen ylä- tai alapuolella olevaan tiileen.
Tessellaatioiden luokittelua Normaali laatoitus on tessellaatio, jossa jokainen laatta on topologisesti ekvivalentti kiekon kanssa, kahden laatan leikkaus on joko yhtenäinen pistejoukko tai tyhjä joukko, ja kaikki laatat ovat tasaisesti rajoitettuja. Tämä merkitsee, että vaikka laatat saattavatkin olla eri kokoisia, on olemassa yläraja, jota suurempi yksikään laatta ei pisimmältä halkaisijaltaan ole, sekä myös alaraja, jonka säteinen ympyrä mahtuu minkä tahansa laatan sisään.
thumb|left|upright|Casey Mannin vuonna 2015 esittämä viidestoista kupera monoedrinen viisikulmiolaatoitus
Monoedrinen laatoitus on tessellaatio, jossa kaikki laatat ovat yhteneviä. Sillä on siis vain yksi peruslaatta. Yhden erityisen mielenkiintoisen monoedristen tessellaatioiden tyypin muodostavat spiraaliset monoedriset laatoituksen. Ensimmäisen spiraalisen monoedrisen laatoituksen keksi Heinz Voderberg vuonna 1936. Tämän Voderbergin laatoituksen peruslaatta on ei-kupera yhdeksänkulmio. thumb|300px|Heeschin laatoitus on esimerkki anisoedrisesta laatoituksesta. Punaiset ja keltaiset laatat ovat sinisten ja vihreiden laattojen peilikuvia. thumb|upright|Pythagoralainen laatoitus thumb|right|Tylppäkulmainen heksagonaalinen laatoitus, yksi tason semiregulaarisista laatoituksista
Monedrinen laatoitus on isoedrinen, jos siinä kaikki laatat kuuluvat samaan transitiivisuusluokkaan, toisin sanoen jokainen laatta voidaan siirtää minkä tahansa toisen laatan paikalle tasoa pitkin yhdensuuntaissiirroilla ja rotaatiolla kääntämättä sitä peilikuvakseen. Jos peruslaatta on sellainen, että sillä voidaan laatoittaa taso, mutta mikään laatoitus on ei ole isoedrinen, peruslaattaa sanotaan anisoedriksesi ja se muodostaa anisoedrisia laatoituksia. Tällöin osa laatoista on peruslaatan peilikuvia.
Säännöllinen tessellaatio on hyvin symmetrinen laatoitus, jossa kaikki laatat ovat samanlaisia säännöllisiä monikulmioita ja joissa minkään laatan kärki ei ole keskellä toisen laatan sivua. Sellaisia laatoituksia on vain kolme, joista yksi muodostuu tasasivuisista kolmioista toinen neliöistä ja kolmas säännöllisistä kuusikulmioista. Nämä kaikki kolme laatoitusta ovat isogonaalisia ja monoedrisiä.
Semiregulaarinen eli Arkhimedeen tessellaatio sisältää useampaa kuin yhtä tyyppiä säännöllisiä monikulmioita isogonaalisessa järjestyksessä. Erilaisia semiregulaarisia tessellaatioita on kahdeksan (tai yhdeksän, jos laatoitukset, jotka ovat toistensa peilikuvia, lasketaan kahdeksi eri tesellaatioksi.) Ne voidaan esittää kärkikonfiguraatioilla; esimerkiksi neliöistä ja säännöllisistä kahdeksankulmioista muodostva semiregulaarinen tessellaatio merkitään 4.82, koska jokaisessa kärjessä toisensa kohtaa yksi neliö ja kaksi kahdeksankulmiota.
Särmätessellaatiossa jokainen laatta voidaan peilata jonkin sivunsa suhteen niin, että se tarkalleen osuu viereisen laatan päälle. Sellaisia ovat esimerkiksi tasasivuisista tai tasakylkisistä kolmioista muodostuvat laatoitukset.