Osittaisintegrointi

Osittaisintegrointi on matematiikassa menetelmä, jolla useissa tapauksissa voidaan integroida kahden tai useamman funktion tulona muodostettu funktio yhden funktion derivaatan ja toisen integraalifunktion eli anti­derivaatan avulla. Sen avulla voidaan usein muuntaa funktioiden tulon integraali muotoon, jossa se on helpommin määritettävissä. Osittais­integrointi­sääntö seuraa suoraan funktioiden tulon derivoimis­säännöstä. sovelluksena integraalilaskentaan.

Jos ja , kun taas ja , osoittaisintegrointisäännön mukaan on

Tämä voidaan lyhemmin ilmaista muodossa

Osittais­integroinnin avulla voidaan useissa tapauksissa määrittää sekä annetun funktion integraalifunktio että sen Riemannin integraali jonkin annetun välin yli. Säännöstä on myös yleisempiä muotoiluja, joiden avulla voidaan määrittää myös Riemann-Stieltjes- ja Lebesgue-Stieltjes-integraaleja. Säännön analoginen vastine sarjoille tunnetaan osittais­summauksena.

Osittais­integroinnin keksi Brook Taylor, joka julkaisi säännön ensimmäisen kerran vuonna 1715.

Lause

Kahden funktion tulo

Osittais­integroinnin perustana oleva lause voidaan todistaa seuraavasti. Kun u(x) ja v(x) ovat jatkuvasti differenti­oituvia funktioita, tulon derivoimis­säännön mukaan on:

Kun yhtälön molemmat puolet integroidaan x:n suhteen:

ja kun otetaan huomioon, että rajoiltaan määrittämätön integrointi on derivoinnin käänteis­toimitus, saadaan:

missä integroimisvakiota ei ole kirjoitettu näkyviin. Tästä saadaan seuraava osittais­integroinnin kaava:

mikä differentiaalien avulla voidaan kirjoittaa myös muotoon

Tämän on ymmärrettävä sellaisten funktioiden yhtä­suuruudeksi, joista kumpaankin on lisätty määrittämätön vakio. Laskemalla kummallekin puolelle kahden arvon, x = a ja x = b, erotus ja soveltamalla analyysin peruslausetta saadaan määrättyä integraalia koskeva versio:

Alkuperäinen integraali ∫ uv′ dx sisältää derivaatan v′. Lauseen soveltamiseksi on löydettävä v':n integraalifunktio (antiderivaatta ja laskettava tuloksena saatu integraali ∫ vu′ dx.

Pätevyys vähemmän sileille funktiolle Osittais­integrointi ei välttämättä edellytä, että funktiot u ja v ovat jatkuvasti differoituvia. Riittää, että u on absoluuttisesti jatkuva ja v:llä merkitty funktio Lebesgue-integroituva, ei välttämättä edes jatkuva. (Jos v:llä on epä­jatkuvuus­kohta, sen integraalifunktio v ei voi kyseisessä pisteessä olla derivoituva.)

Jos integroimisväli ei ole kompakti, u:n ei tarvitse välttämättä olla absoluuttisesti jatkuva eikä v:n Lebesgue-integroituva kyseisellä välillä. Tämän osoittavat seuraavat esimerkit, joissa u ja v ovat jatkuvia ja jatkuvasti differentioituvia. Esimerkiksi jos

u ei ole absoluuttisesti jatkuva välillä [1, ∞), mutta siitä huolimatta

mikäli :n katsotaan tarkoittavan lausekkeen raja-arvoa, kun ja kunhan molemmat oikealla puolella olevat termit ovat äärellisiä. Tämä pätee vain, jos valitaan Samoin jos

v′ ei ole Lebesgue-integroituva välillä [1, ∞), mutta siitä huolimatta

samoilla edellytyksillä.

Vastaavia esimerkkejä, joissa u ja v eivt ole jatkuvasti differentoituvia, voidaan myös helposti muodostaa.

Lisäksi jos funktio on rajoitettu välillä ja differentioituva välillä , on

missä tarkoittaa etumerkillä varustettua mittaa, joka vastaa rajoitetusti vaihtelevaa funktiota , ja funktiot ovat n laajennuksia koko :ään, joista edellinen on rajoitetusti vaihteleva ja jälkimmäinen differentioituva.

Useamman funktion tulo

Kolmen funktion, u(x), v(x), w(x), tulolle saadaan vastaava tulos:

Yleisemin n funktion tulolle pätee:

mistä saadaan

Havainnollistus thumb|280px |Osittais­integronnin graafinen tulkinta. Kuvioon merkitty käyrä on parametroitu muuttujalla t.

Tarkastellaan parametrimuodossa esitettyä käyrä (x, y) = (f(t), g(t)). Edellyttäen, että käyrä on lokaalisti injektio ja integroituva voidaan määritellä:

Oheisessa kaaviossa sinisellä merkityn alueen pinta-ala on

ja punaisella merkityn

Näiden summa A1 + A2 on yhtä kuin suuremman ja pienemmän suorakulmion pinta-alojen erotus, , toisin sanoen:

Eli parametrin t avulla sanottuna:

Käyttämällä määräämättömiä integraaleja tämä voidaan kirjoittaa muotoon

tai siirtämällä termejä yhtälön toiselle puolelle edelleen muotoon

Osoittaisintegrointi voidaan siis käsittää keinoksi, jolla sinisen alueen pinta-ala voidaan laskea suorakulmioiden ja punaisen alueen pinta-alojen avulla.

Tämä havainnollistus selittää myös sen, että osittais­integroinnilla voidaan usein määrittää käänteisfunktion f−1(x) integraali, kun funktion f(x) integraali tunnetaan. Itse asiassa funktiot x(y) ja y(x) ovat toistensa käänteis­funktioita, ja integraali ∫ x dy voidaan laskea kuten edellä, jos integraali ∫ y dx tunnetaan. Erityisesti tämä selittää osittais­integroinnin käytön logaritmifunktion ja arkusfunktioiden integroimiseksi. Jos on differentioituva injektiivinen funktio jollakin välillä, osittais­integroinnilla voidaankin johtaa kaava funktion integraalille :n integraalin avulla.

Sovelluksia

Integraalifunktion löytäminen

Annetun funktion integraalifunktion määrittämiseksi osittais­integrointi on pikemminkin heuristinen kuin puhtaasti mekaaninen menetelmä. Kun integroitava funktio on annettu, on etsittävä kaksi sellaista funktiota, u(x) ja v(x), joiden tulo annettu funktio on, että osittais­integroinnin kaavassa jäljellä jäävä integroitava funktio on helpommin integroitavissa kuin alkuperäinen funktio. Aina sellaisia funktioita ei kuitenkaan ole helppo löytää. Jos sellaiset on löydettävissä, voidaan käyttää seuraavaa kaavaa:

Yhtälön oikealla puolella u on differentioitu ja v integroitu; niinpä on joko valittava funktio u niin, että se yksin­kertaistuu differentoitaessa, tai funktio v niin, että se yksin­kertaistuu integroitaessa. Yksin­kertaisena esimerkkinä voidaan käyttää funktiota

Koska ln(x):n derivaatta on , funktioksi u valitaan ln(x), ja koska :n integraalifunktio on , differentiaaliksi dv valitaan . Näin saadaan:

Funktion integraalifunktio saadaan potenssin integrointi­säännön avulla ja se on

Vaihtoehtoisesti u ja v voidaan valita siten, että tulo u′ (∫v dx) yksinkertaistuu termien kumoutuessa. Esimerkiksi jos on laskettava integraali

,

voidaan valita u(x) = ln(|sin(x)|) ja v(x) = sec2x. Silloin u:n differentiaaliksi saadaan ketjusäännön avulla 1/ tan x, ja v:n integraalifunktio on tan x, joten kaavasta saadaan:

Integroitava yksinkertaistuu vakioksi 1, joten sen integraalifunktio on x. Yksinkertaistavan kombinaation löytäminen edellyttää usein kokeiluja.

Joskus osittais­integrointi on käyttökelpoinen menetelmä, vaikka integraalille ei voitaisikaan esittää yksinkertaista lauseketta. Esimerkiksi numeerisessa analyysissä tulo sellaisenaan on usein riittävän hyvä likiarvo integraalille , mikäli integraali on siihen verrattuna itseisarvoltaan niin pieni, että se voidaan jättää huomioon ottamatta.

Polynomit ja trigonometriset funktiot

Integraalin

laskemiseksi valitaan

jolloin:

missä C on integroimisvakio.

Kun integroitavassa funktiossa esiintyy x:n korkeampia potensseja, kuten lausekkeissa

integraali voidaan laskea suorittamalla osittais­integrointi useampaan kertaan, jolloin joka kerta x:n eksponentti pienenee yhdellä.

Eksponentti- ja trigonometriset funktiot

Usein käytetty esimerkki integraalista, joka voidaan laskea osittais­integroinnilla, on

Tässä osittais­integrointia sovelletaan kahdesti. Ensin valitaan

jolloin integraali saadaan muotoon:

Jäljellä olevan integraalin laskemiseksi käytetään jälleen osittais­integrointia valitsemalla

Saadaan:

Yhdistämällä nämä saadaan:

Sama integraali esiintyy tämän yhtälön molemmilla puolilla. Integraali voidaan yksinkertaisesti lisätä molemmille puolille, jolloin saadaan

ja siitä edelleen

missä C (ja C′ = C/2) on jälleen integroimisvakio.

Vastaavalla menettelyllä voidaan määrittää sekantin kuution integraali.

Funktiot kerrottuna yhdellä

Kaksi muuta hyvin tunnettua esimerkkiä ovat tapauksia, joissa osittais­integrointia sovelletaan funktioon ilmaistuna itsensä ja vakion 1 tulona. Tämä on mahdollista, jos funktion derivaatta tunnetaan ja jos myös tämän derivaatan ja x:n tulon integraali tunnetaan.

Ensimmäinen esimerkki on ∫ ln(x) dx. Kirjoitetaan tämä muotoon:

Valitaan:

jolloin saadaan:

missä C on integroimisvakio.

Toinen esimerkki on arkustangentti, arctan(x):

Kirjoitetaan tämä muotoon

Nyt valitaan:

jolloin käyttämällä sekä sijoitus­menetelmää että luonnollisen logaritmin integraaliehtoa saadaan:

.

LIATE-sääntö Sille, miten osittais­integroinnissa käytettävät funktiot u ja v on valittava, on esitetty nyrkkisääntö, jonka mukaan u on se funktio, joka on ensimmäisenä seuraavassa luettelossa: L – logaritmifunktiot: jne. I – arkusfunktiot (): jne. A – algebralliset funktiot: jne. T – trigonometriset funktiot: jne. E – eksponenttifunktiot: jne.

Differentiaali dv muodostetaan funktiosta v, joka on jäljempänä listalla: niiden integraalifunktiot on helpommin muodostettavissa kuin edellä olevien funktioiden. Säännöstä käytetään joskus myös nimeä "DETAIL", missä D viittaa differentiaaliin dv.

LIATE-säännön havainnollistamiseksi tarkastellaan integraalia

LIATE-säännön mukaisesti valitaan u = x, ja dv = cos(x) dx, mistä saadaan du = dx, ja v = sin(x), jolloin integraali saa muodon

joka on yhtä kuin

Yleensä yritetään valita u ja dv siten, että du on yksinkertaisempi kuin u ja dv on helppo integroida. Jos sen sijaan uksi valittaisiin cos(x) ja dv:ksi x dx, saataisiin integraali

ja jos tähän edelleen sovelletaan toistuvasti osittais­integrointia, joudutaan selvästikin päättymättömään rekursioon eikä integraalia saada määritetyksi.

Vaikka LIATE on hyvä yleissääntö, siitä on poikkeuksia. Yleinen vaihtoehto on käyttää sen sijasta "ILATE"-sääntöä. Toisinaan polynomitermit on myös hajotettava ei-triviaaleilla tavoilla. Esimerkiksi integraalin

määrittämiseksi valitaan

niin että

.

Saadaan

Tämä johtaa lopulta tulokseen

Osittaisintegroinnin avulla todistettuja tuloksia Osittais­integrointi­sääntöä voidaan käyttää matemaattisessa analyysissä myös monien lauseiden todistamiseen.

Wallisin tulo John Wallis esitti :n arvon laskemiseksi päättymättömän tulon:

.

Osittais­integroinnin avulla voidaan todistaa, että tämän tulon raja-arvo on .

Gammafunktio ja kertoma

Gammafunktio on esimerkki erikoisfunktiosta, joka on määritelty :n epäoleellisen integraalin avulla. Osittais­integroinnilla voidaan osoittaa, että se on samalla kertoman yleistys:

Koska

kun on luonnollinen luku, toisin sanoen , käyttämällä tätä kaavaa toistuvasti saadaan kertoma:

Käyttö harmonisessa analyysissä

Osittais­integrointia käytetään usein harmonisessa analyysissä, varsinkin Fourier-analyysissä osoittamaan, että Riemannin–Lebesguen lemman mukaisesti nopeasti värähtelevät integraalit, joissa on tarpeeksi tasainen integrandi, pienenevät nopeasti nollaan. Tavallisin esimerkki tästä on osoittaa, että funktion Fourier-muunnoksen pieneneminen riippuu funktion sileydestä jäljempänä selitetyllä tavalla.

Derivaatan Fourier-muunnos

Jos f on k kertaa jatkuvasti differentioituva funktio ja sen kaikki derivaatat k:nteen saakka lähestyvät nollaa x:n kasvaessa rajatta, sen Fourier-muunnos toteuttaa yhtälön

missä f(k) on funktion f k:s derivaatta. Tämä voidaan todistaa toteamalla, että

joten soveltamalla osittais­integrointia Fourier-muunnoksen derivaattaan saadaan

Toistamalla tämä induktiivisesti saadaan tulos mille tahansa k:n arvolle. Samaan tapaan voidaan löytää funktion derivaatan Laplace-muunnos.

Fourier-muunnoksen suppeneminen

Edellä saatu tulos liittyy Fourier-muunnoksen suppenemiseen, sillä siitä seuraa, että jos f ja ovat integroituvia, niin

Toisin sanoen jos f toteuttaa nämä ehdot, sen Fourier-muunnos lähestyy nollaa ξ:n kasvaessa rajatta vähintään yhtä nopeasti kuin . Erityisesti jos , Fourier-muunnos on integroituva.

Tämän todistamiseen käytetään seuraavaa epäyhtälöä, joka seuraa suoraan Fourier-muunnoksen määritelmästä:

Soveltamalla samaa ideaa tämän osion alussa olevaan yhtälöön saadaan: