Sigma-algebra (myös σ-algebra) on mittateoriassa olennainen joukkoperhe, joka on tietyn perusjoukon osajoukkojen rakennelma. Esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa sigma-algebra tulkitaan havaitsijalle eroteltavissa olevien satunnaiskokeen lopputulosten joukkona.
Sigma-algebran määritelmä
Olkoon mielivaltainen epätyhjä joukko. Sigma-algebra perusjoukolla on sen osajoukkojen joukkoperhe , joka toteuttaa ehdot:
jos , niin :n komplementtijoukko jos kaikilla , missä on numeroituva joukko, niin .
Sigma-algebran ominaisuuksia
Sigma-algebran ominaisuuksia: perusjoukko kuuluu sigma-algebraansa, eli Sigma-algebran joukkojen väliset yleisimmät joukko-operaatiot tuottamat joukot kuuluvat kyseiseen sigma-algebraan. Jos ja , niin esimerkiksi , ja jos kaikilla , missä on numeroituva, niin sigma-algebrojen välinen mielivaltainen leikkaus on sigma-algebra
Sigma-algebraan liittyviä käsitteitä
Triviaali sigma-algebra on joukko . Se on suppein sigma-algebra.
Sigma-algebran ali-sigma-algebra on joukkoperhe , joka on sigma-algebra samalla perusjoukolla. Esimerkiksi triviaali sigma-algebra on minkä tahansa samalla perusjoukolla määritellyn sigma-algebran alisigma-algebra.
Olkoon mielivaltainen joukkoperhe joukon osajoukkoja. Joukkoperheen virittämä sigma-algebra, jota merkitään , on suppein sigma-algebra, jolla .
Olkoon kuvaus . Kuvauksen virittämä sigma-algebra, jota merkitään , on suppein sigma-algebra, jonka suhteen on mitallinen. on suppein sigma-algebra, jonka suhteen ja ovat mitallisia.
Olkoon sigma-algebra ja sen alisigma-algebra jokaisella . Jos jokaisella , niin on historia tai informaatiovirta, joka on siis kasvava jono sigma-algebroja.
Tärkeimpiä sigma-algebroja Erityisesti reaalilukujen Borel-joukot muodostavat mittateoriassa tärkeän sigma-algebran. Samoin Lebesgue-mitalliset joukot.
Kirjallisuutta
Aiheesta muualla MathWorld. Sigma-Algebra
Luokka:Mittateoria Luokka:Todennäköisyyslaskenta