Konservatiivinen kenttä on vektorikenttä F, jolle pätee
missä: on suljettu polku, jota pitkin integroidaan
Jos F(x) on voimakenttä, tarkoittaa yllä oleva tulos, että tehty työ on nolla. Toisin sanoen työ riippuu vain polun alku- ja loppupisteistä, ei itse polusta. Esimerkki konservatiivisesta voimakentästä on painovoima.
Konservatiivinen kenttä ja skalaarikentän gradientti
Konservatiiviselle vektorikentälle voidaan kirjoittaa jollekin skalaarikentälle . Mikäli F(x) on voimakenttä, on potentiaalienergia (miinusmerkki on konventio; potentiaalienergia käsitetään sopimuksenmukaisesti negatiiviseksi). Lasketaan tehty työ, kun liikutaan polun läpi alkaen paikkavektorista x0 ja päättyen paikkavektoriin x1. Oletetaan, että voidaan parametrisoida parametrille . Täten
!align=right| !align=center| !align=left|
!align=center| !align=left|
!align=center| !align=left|
!align=center| !align=left|
eli integraali riippuu vain alku- ja loppupisteistä.
Yleisesti jos , silloin .
Vastaavasti jos , silloin jollekin . Huomaa, että tämä ehto on paljon vahvempi, koska ei riitä, että jollekin .
Konservatiivinen kenttä ja eksaktit differentiaalit
Koska osoitettiin juuri, että konservatiiviselle vektorikentälle , täten jos F on eksakti, eli , voidaan kirjoittaa . Toisin sanoen vektorikenttä F on konservatiivinen, jos on eksakti.
Konservatiivinen kenttä ja roottori
Konservatiiviselle vektorikentälle F pätee . Tämä on seurausta, koska konservatiivinen kenttä voidaan kirjoittaa skalaarikentän mukaan (kts. yllä):
koska ja .
Tästä tuloksesta päästään takaisin yllä oleviin tuloksiin Stokesin lauseen avulla. Koska , on minkä tahansa polun ympäri, joka rajaa pinnan S, jolle Stokesin lauseen mukaisesti . Täten F on konservatiivinen. (Pinnan S yksityiskohdilla ei ole erityisemmin väliä, koska .)
Lähteet
Luokka:Vektorianalyysi