サムネイル|162x162ピクセル|エミール・ルモワーヌ (1840–1912) 数学において、近世三角形幾何学（きんせいさんかくけいきかがく、）は19世紀後半から急激に発展した、三角形の性質に関連する研究の体系である。
三角形の諸性質はエウクレイデスの時代から研究され続けてきた。ユークリッド原論では、三角形の重要な心として重心（幾何中心）、内心、外心、垂心が記述されている。17世紀のパスカル、チェバ、18世紀のオイラー、19世紀のフォイエルバッハなど多くの数学者によりの研究が成された。
1873年のエミール・ルモワーヌの論文 はネイサン・アルトシラー・コートによって
と評価されている。ルモワーヌの著作を出版した は
と宣言している 。ルモワーヌのこの論文は、19世紀の最後の四半世紀以後の三角形の性質への関心を非常に高めることとなった。1914年に出版された は100ページを超える三角形幾何学の記事を含み、このような高まりを物語っている一例である。
「new triangle geometry」は、単に三角形に関する図形などの対象を指すこともあった。例えばルモワーヌ点、ブロカール円、ルモワーヌ線が挙げられる。後に、幾何的な変換から派生した結果をまとめる理論も開発された。この理論の発展から 「new triangle geometry」は単に対象を指す言葉ではなく、対象の分類や研究の方法に対しても使われる言葉になった。1887年のヨーロッパとアメリカで使われた幾何学の教科書 には
との記述がある。
しかし、この高まりは一度収束して、20世紀まで、完全に姿を見せなかった。 エリック・テンプル・ベルの 内で、三角形幾何学についてこのような言及がある。
フィリップ・J・デイヴィスは三角形幾何学の衰退に以下のようないくつかの理由があると述べた。
専門性が低く初等的だと感じる 研究方法の可能性の枯渇 視覚的な複雑さ 解析的な手法が優先されたこと タイル張り、フラクタル、グラフ理論など他の視覚的な分野との競合
現代的なコンピュータの登場は、三角形幾何学の復興に大きな影響を与えた。熱心な幾何学者らによって、三角形幾何学は再び活発な分野となった。 その典型例として、の三角形の心をまとめたウェブサイト Encyclopedia of Triangle Centers や、 の三角形の三次曲線をまとめたウェブサイト、Catalogue of Triangle Cubics が挙げられる。他にも、フロリダ・アトランティック大学のパウル・ヨウによるジャーナル Forum Geometricorum が現代の三角形幾何学の発展に貢献している。
ルモワーヌ幾何学
ルモワーヌ点 の重心をとする。をそれぞれの角の二等分線で鏡映した線は類似中線と呼ばれる。3本の類似中線は共点で、この点を類似重心（ルモワーヌ点、グレーベ点）という。のそれぞれの辺をとして、類似重心の重心座標はである。 類似重心は「」と言われている.。この点に関する文献にはの「history of the symmedian point」などがある。
類似重心と重心のような関係は等角共役として一般化されている。と点について、をそれぞれの角の二等分線で鏡映した直線は、一点で交わる。これをの等角共役点という。
ルモワーヌ円 類似重心を通り各辺に平行な直線と他2辺の交点、計6点は同一円上にある。この円を第一ルモワーヌ円という。円の中心は、類似重心と外心の中点である。また、この性質も一般化されている（三角形の円錐曲線を参照）。
類似重心を通る各辺の逆平行線と、他2辺の交点も共円である。この円を第二ルモワーヌ円または余弦円（）という。中心は類似重心である。
ルモワーヌ軸 とその接線三角形（類似重心の反チェバ三角形）の配景の軸をルモワーヌ軸という。これは類似重心の三線極線である。
初期の近世三角形幾何学 ルモワーヌの論文が発表された後の三角形幾何学に関する発見を挙げる（1910年のウィリアム・ゲラトゥリの書籍と1929年のロジャー・アーサー・ジョンソンの書籍に基づく）。
Poristic triangles 内接円と外接円を共有する三角形はPoristic triangles（条件付不定三角形）と呼ばれる。オイラーの定理によれば、外接円、内接円の半径をそれぞれとして外心と内心の距離の二乗はで表される。Poristic triangles に対して、重心などいくつかの点の軌跡は円または点となる（ヴェイユの定理、ポンスレの閉形定理も参照）。
シムソン線 の外接円上の点について、から各辺に降ろした垂線の足は共線である。この線はシムソン線と呼ばれる。
垂足三角形と反垂足三角形 点から各辺に降ろした垂線の足が成す三角形をの垂足三角形という。を通り、それぞれに垂直な直線の成す三角形を反垂足三角形という。 の垂足三角形との反垂足三角形がにある且つ、の垂足三角形との反垂足三角形が相似の位置にある場合、は counter points と呼ばれる。
直極点 任意の直線について、からに降ろした垂線の足をとする。を通るの垂線は一点で交わる。これをの直極点という。三角形幾何学の文献には直極点を扱ったものが多く存在する。
ブロカール点 に接して、それぞれを通る円は一点で交わる。同様にを通る円も共点である。この2点をブロカール点という。で表される場合が多い。接弦定理から示すことができる。また、この時は等しい。この角をブロカール角といい、で表される。ブロカール角に関して、次の等式が成り立つ。
ブロカール点、ブロカール角は多くの興味深い性質を持つ。
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現代の三角形幾何学
三角形の心 20世紀のもっとも重要な三角形幾何学の概念の一つに三角形の心が挙げられる。1994年にによって導入され、非常に多くの点が統一的に扱われるようになった。この概念の導入後は、三角形の心なしでは三角形の諸性質は完結しなくなった。
三角形の心の定義 3つの実数について関数を以下の様に定義する。
斉次性: （は任意の定数で、はすべての正の実数） 2, 3つ目の変数に対する対称性:
が零函数でない且つ上の2条件を満たすならばそれを と呼ぶ。が三角形の各辺の長さであるならば、重心座標または三線座標において表記された点を三角形の心という。この定義によれば、傍心やブロカール点は三角形の心でない。
クラーク・キンバーリングは、三角形の心をまとめた Encyclopedia of Triangle Centers を運営している。このウェブサイトには2026年3月現在、72000個程度 の三角形の心が登録されている。
Central line 現代の三角形幾何学のもう一つの重要な概念にCentral lineが挙げられる。Central line は三角形の心と密接に関わっている。
central lineの定義 において、三線座標を変数とし、以下の式で表される直線をCentral lineという。
ただし座標は三角形の中心を表す。
幾何的なcentral lineの作図 サムネイル|300x300ピクセル
点の等角共役点をとする。 それぞれチェバ線との交点の成す三角形（チェバ三角形）をとする。 との配景の軸がの三線極線、のCentral lineである。
三角形の円錐曲線 三角形の円錐曲線は三角形に対して定義される平面円錐曲線 である。代表的なものに外接円と内接円、シュタイナー楕円、キーペルト双曲線がある。他に2点と1辺の組に対して定義されるアルツト放物線 、いくつかの円錐曲線の集合であるホフスタッター楕円やイフ円錐曲線などもある。「Triangle conics」という語に正確な定義はされていないがMathWorldには「Triangle conics」に含まれる項が42個存在する。
三角形の三次曲線 三次曲線は三角形の研究に、主に軌跡を調べる場合などに自然に出現する。 例えば、点を三角形の各辺で鏡映した点について、が共点であるとき、の軌跡はノイベルグ三次曲線と呼ばれる三次曲線を成す。三角形の三次曲線は の運営するCatalogue of Triangle Cubicsに1200個程度登録されており、重心座標による方程式や、軌跡などのさまざまな情報が記載されている。
三角形幾何学とコンピュータ 20世紀、21世紀のコンピュータの発展は三角形幾何学の発展に大きな影響を与えた。例えばGeoGebraやが挙げられる。
フィリップ・J・デイヴィスはコンピュータが三角形幾何学にどのように影響したかを概説している。コンピュータは新しい結果を生み出してきた。2015年に発表された調査論文は、コンピュータプログラム「Discoverer」によって発見された新たな結果について説明している。
Sava Grozdev、奥村博、Deko Dekovらはユークリッド幾何学に特化した百科事典の運営を行っている。
出典
参考文献
関連項目 新数学