八円定理

サムネイル|320x320ピクセル幾何学において、八円定理（はちえんていり、）またはダオの八円定理は、8つの円に関する定理である。ある円上の6つの点と他の円上の6点について、i=1,2,3,4,5で、が共円ならば、も共円である。さらに、円の中心をとして、直線は共点である。

証明証明の序盤は、ダオによりのCrux Mathematicorumの3845番に掲載されている。

まず、ミケルの六円定理により、i=1,2,3で成り立つとき、4つの連鎖ならばは共円でなければならない。そして円ととに同様にミケルの六円定理を使うことで、の共円が示される。同様の議論は偶数個の円においても示せる。

が共点であることは、これら円の中心が成す六角形が、の2円の中心を焦点とする円錐曲線に接することを示すことにより、ブリアンションの定理で示される。この証明はCrux Mathematicorumの問題3945でクリス・フィッシャーによって大まかに証明され、ミシェル・バタイユによって補完された。以下の補題のにを当てはめる事により示される。

またこのほかにもGábor Gévay と Ákos G. Horváthによる高度な知識を使った証明や、Nguyen Chuong Chiによる初等的な解法もある。

補題 3つの円（中心も同名）があり、はそれぞれで、はそれぞれで交わっている。を焦点とするある円錐曲線が線分の垂直二等分線に接することを示す。はの垂直二等分線であることから、で直線の成す有向角を表すとして、

が成り立ち、さらに円周角の定理から

である。したがってはに対する等角共役線であり、今がを焦点とする円錐曲線に接しているとし、さらにを通り、に接するでない直線があるとすると、よく知られた定理（The second little Poncelet theorem）により、は以外にありえない。したがってはに接する。

ブリアンションの定理との関係八円定理は円に対するブリアンションの定理の一般化となっている。さらにこの定理の双対は円におけるパスカルの定理やDao-symmedial circleの一般化になる。

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