代数幾何学において、ℓ 進層とは、ℓ 進数体 Qℓ のようなねじれのない係数に対してエタール・コホモロジーの理論を適切に拡張するために用いられる概念である。 アレクサンドル・グロタンディークにより SGA 5 において導入され、その後ピエール・ドリーニュ
、 、トルステン・エケダール などにより理論が整備された.。
とペーター・ショルツェはプロエタール位相を用いて ℓ 進層の理論に新たなアプローチを与えた。
動機
エタール・コホモロジーは、代数多様体に対する「位相的な」コホモロジー論、すなわち任意の標数で機能するようなヴェイユ・コホモロジー論を構築する目的で発展した。 そのような理論に不可欠な特徴は、標数 0 の体を係数にもつことである。 しかし、ねじれのないエタール定数層のコホモロジーは興味深い情報を含まない。 例えば、X が体 k 上の滑らかな代数多様体のとき、任意の正の整数 i に対して Hi(Xét, Q) = 0 である。 一方、定数層 Z/m は、体 k において m が可逆である限り、「正しい」コホモロジーを与える。 そのため、体 k で可逆であるような素数 ℓ に対し、X の ℓ 進コホモロジーを ,
と定義する。
しかし、この定義は完全に満足のできるものではない。 位相空間に対する古典的な理論のように、Qℓ ベクトル空間のを係数にもつコホモロジーを考えたい。 また、そのような局所系のなす圏とエタール基本群の Qℓ 上の連続表現のなす圏の間に圏同値が存在するべきである。
上の定義の別の問題点は、k が分離閉体のときにしかうまく振る舞わないことである。 その場合には、逆極限に現れるすべての群は有限生成で、逆極限をとる操作は完全である。 しかし、例えば k が代数体の場合、コホモロジー群 Hi(Xét, Z/ℓn) が有限とも、逆極限をとる操作が完全とも限らない。 これにより関手性に問題が生じる。 例えば、 を のガロア・コホモロジーに関連付けるホッホシルト・セールスペクトル系列通常のエタール・コホモロジーの場合のホッホシルト・セールスペクトル系列については、例えば を参照。は一般には存在しない。
以上の考察から、エタール層の逆系のなす圏を考えるというアイデアに至る。 これによって、Qℓ 局所系のなす圏とエタール基本群の有限次元 Qℓ ベクトル空間上の連続表現の圏の間の所望の圏同値が生じる。 また、前の段落で述べた問題も、逆系の大域切断の逆極限をとる関手の導来関手を考える、いわゆる連続エタール・コホモロジーによって解決する。
定義
X をネータースキームとする。 X 上の ℓ 進層、または Zℓ 層とは、X 上のエタール層のなす逆系 で、各 n ≧ 0 に対して射 が同型 を誘導するものである。
ℓ 進層 は、
各 がなとき構成可能であるという。 各 が構成可能なのとき滑らか (lisse) であるという。
ℓ 進層の定義に構成可能であることを含める文献もある（例えば SGA 4 1/2）。
X 上の Qℓ 層のなす圏を次のように定義する。
対象は X 上の Zℓ 層とする。 2 つの Zℓ 層 に対して、射の集合 を と定める。
このように定義された圏の対象を X 上の Qℓ 層と呼び、Zℓ 層 で表される Qℓ 層を と表記する。
滑らかな ℓ 進層とエタール基本群の連続表現の対応
連結なネータースキーム X とその幾何学的点 x に対して、SGA 1 では X の x におけるエタール基本群 が、X の有限ガロア被覆を分類する群として定義されている。 このとき、X 上の滑らかな ℓ 進層のなす圏は有限生成 Zℓ 加群上の の連続表現のなす圏と同値である。 同様に、Qℓ 層の場合は有限次元 Qℓ ベクトル空間上の の連続表現と対応する。 これは、代数的トポロジーにおけると基本群の連続表現の間の対応の類似である（このため、滑らかな ℓ 進層は局所系と呼ばれることがある）。
ℓ 進コホモロジー
古典的には、スキーム X 上の Zℓ 層 に対して、X の 係数 ℓ 進コホモロジーは
と定義される。 Zℓ 層 により と表される Qℓ 層に対しては
と定義する。
しかし、これは導来関手として定義されていないため、関手性に問題が生じる。 この問題を解決するのがの連続エタール・コホモロジーである。 X 上のエタール層の逆系のなす圏はアーベル圏であり十分単射的対象をもつため、関手 の i 次右導来関手を考えられる。 これを逆系 に適用して得られるアーベル群を と表し、X の 係数連続エタール・コホモロジーという では ℓ 進層における導来関手の値のみに対し という記号が用いられ、また「連続エタール・コホモロジー」の名前もその状況においてのみ与えられているが、ここでは の記法・用語法に従った。。
エタール層の逆系 で各射 が全射であるものに対して、X の 係数連続エタール・コホモロジーはとペーター・ショルツェによるプロエタール・コホモロジーで表すことができる。
構成可能 ℓ 進層のなす「導来圏」
構成可能 層のなす導来圏は、本質的には ℓ 進コホモロジーの場合と類似の式
で表されるようなアイデアにより定義される。
ドリーニュが最初にこのアイデアに沿った定義を与えた。 その後エケダールによってより一般的な構成が与えられた。
とショルツェは、Qℓ の任意の（有限次とは限らない）代数拡大 E に対して、構成可能 E 層の導来圏 をプロエタール位相を備えた X のプロエタール景 Xproét 上の E ベクトル空間の層のなすアーベル圏の導来圏 の特別な対象のなす充満部分圏 として実現した。
関連項目
ヴェイユ予想
プロエタール位相
脚注
注釈
出典
参考文献
Exposé V, VI of
外部リンク
Mathoverflow: A nice explanation of what is a smooth (ℓ-adic) sheaf? Number theory learning seminar 2016–2017 (Pro)Étale Cohomology