正弦三倍角円

サムネイル|308x308ピクセル|正弦三倍角円において、正弦三倍角円（せいげんさんばいかくえん、）は、三角形に関して定義される円の一つであるMathWorld, Weisstein, Eric W。について、上の点、上の点、上の点を、式、、を満たすようにとる。このとき、は同一円周上にある。この円を正弦三倍角円という。初め、タッカーとノイベルグはこの円をフランス語で "cercle triplicateur" と呼んでいた。

性質

を満たす。これが、正弦三倍角円の名称の理由である。しかし、3辺をこの比で切るような円は無数に存在する。そのような円の中心は、3つの傍心および正弦三倍角円の中心を通る双曲線上に存在する。九点円と正弦三倍角円の相似中心はコスニタ点とキーペルト放物線の焦点である。外接円と正弦三倍角円の相似中心はブロカール円でジェラベク双曲線の中心を反転した点と、である。それぞれの正弦三倍角円における極線との交点は共線である。正弦三倍角円の半径は、

で表される。ここでは三角形の外接円の半径。

中心正弦三倍角円の中心は三角形の心として Encyclopedia of Triangle Centers のに登録されている。の三線座標は次の式で与えられる。

三角形の外心と垂心をそれぞれとする。でそれぞれを鏡映した点の中点をと定める。をに対して同様に定義したとき、は相似でその中心はである。一般化自然数において、

を満たすように冒頭と同様に点を配置したときは共円である。正弦三倍角円はの場合に該当する。更に次の式が成立する。

正弦三倍角円

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