数論において、第一ハーディ・リトルウッド予想とは、素数定理を一般化することにより、与えられた大きさ未満の素数 k-組の個数に関する漸近公式を定式化したものである。これは1923年にG・H・ハーディとJ・E・リトルウッドによって初めて提唱された。.
主張 正の偶数 について、数列 の各数は、いかなる素数に対しても完全剰余類をなさないものとする。また、 を がすべて素数となるような、 未満の素数 の個数とする。すると以下の漸化式が成り立つという予想である。
ここで
は奇素数全体をわたる積であり、 は をmod で見たときの異なる剰余の個数とする。
特に 、 の場合は双子素数予想に関連する。このとき は n より小さい双子素数の数を表す。このとき、
ここで
（）は双子素数定数。
スキューズ数
素数 k-組に対するスキューズ数は第一ハーディ・リトルウッド予想に基づいて、スキューズ数の定義を素数 k-組に拡張したものである。k-組 P についてハーディ・リトルウッド不等式を満たさない最初の素数 p 、すなわち、
を満たす(p がもし存在すれば) 最小の素数が素数 k-組に対するスキューズ数である。
結果 この予想は、第二ハーディ・リトルウッド予想と矛盾することが示されている。
一般化 は第一ハーディ・リトルウッド予想を次数1以上の多項式に一般化した予想である。
注釈
参考文献