二値原理

論理学において、二値原理（にちげんり、）または二値性の法則は、（検査される理論の）命題を表すすべての叙述文がちょうど一つの真理値、すなわち真か偽のいずれかをもつという意味論的原理（または法則）である。この原理を満たす論理は二値論理または二値的論理と呼ばれる。

形式論理学において、二値原理は意味論が持つ場合も持たない場合もある性質となる。しかし二値原理は排中律と同一ではなく、二値的でなくても排中律を満たす意味論が存在する。

二値原理は哲学的論理学において、どの自然言語の文が明確な真理値をもつかという問いを論じるために研究されている。未来の出来事を予測する文や、解釈の余地がある文は、二値原理がすべての叙述的な自然言語の文に適用されると主張する哲学者にとって特に難しい問題である。多値論理は、曖昧さ・時間的または量子不確定性・指示不全によって古典的に二値的とは見なせない前提の許容が、帰結の概念の現実的な性格付けに必要だという考えを形式化する。指示の失敗は自由論理によっても対処できる。

排中律との関係

二値原理は排中律と関連するが、後者は「P ∨ ¬P」という形式の言語の構文的表現である。二値原理と排中律の違いは重要であり、後者を有効とするが前者を有効としない論理が存在する。例えば、三値論理の矛盾許容論理（LP）は排中律を有効とし、かつ無矛盾律¬(P ∧ ¬P)も有効とするが、その意図された意味論は二値的ではない。 (see also An Introduction to Non-Classical Logic) 直観主義論理では排中律は成り立たない。古典論理の二値論理においては、排中律と無矛盾律の両方が成り立つ。

古典論理古典論理の意図された意味論は二値的だが、古典論理のすべての形式的意味論がそうであるわけではない。（古典的命題論理の）ブール値意味論では、真理値は任意のブール代数の要素であり、「真」は代数の最大元に、「偽」は最小元に対応する。代数の中間的な要素は「真」でも「偽」でもない真理値に対応する。二値原理が成り立つのは、ブール代数が中間的な要素をもたない二元ブール代数である場合のみである。

ブール意味論を古典的な述語計算に割り当てるには、全称量化子が下限演算に、存在量化子が上限に対応するため、モデルが完備ブール代数である必要がある。これはブール値モデルと呼ばれる。すべての有限ブール代数は完備である。

スシュコの命題ローマン・スシュコ（1977年）は、真と偽が唯一の論理的値であるという主張を正当化するために、すべての構造的タルスキ型多値命題論理に二値意味論を与えられることを指摘している。

批判

未来の偶発事

アリストテレスの著作『命題論』第9章に見られる有名な例として、「偶然の海戦」がある。

Pが「明日、海戦が起こるだろう」という文を指すとする。

二値原理によれば：

明日海戦が起こるというのは真であるか、明日海戦が起こるというのは偽であるか、のいずれかである。

アリストテレスはこのような未来の偶発事については二値性を受け入れなかった。ストアの論理学者クリュシッポスは、これとすべての他の命題について二値性を受け入れた。この論争は時間の哲学と論理学の哲学の両方において今日でも中心的な重要性をもつ。

多値論理の研究における初期の動機の一つはまさにこの問題であった。20世紀初頭、ポーランドの形式論理学者ヤン・ウカシェヴィチは、真・偽・「いまだ未定」の三つの真理値を提唱した。このアプローチは後にアレント・ハイティングとL.E.J.ブラウワーによって発展させられた。ウカシェヴィチ論理を参照。

このような問題は、「『明日』がいつかやってくる」という意味で「最終的に、明日は海戦が起こるかまたは起こらない」と主張できる各種時相論理においても扱われてきた。

曖昧性連続体の誤謬などのソライテスのパラドックスは、適用において曖昧になりうる概念への古典論理と二値原理の適用可能性に疑問を投げかけてきた。ファジィ論理や他のいくつかの多値論理は、曖昧な概念をより適切に扱う代替案として提唱されている。例えばファジィ論理では、真（および偽）は様々な程度で成立する。移動するベルトの上のリンゴを選別する状況において次の文を考えてみよう：

このリンゴは赤い。極めて指示的な冠詞「この」の使用に注意。「その」が使われる場合は指示的にするために指し示すジェスチャーが必要となる。『数学原理』（第2版）p. 91でラッセルとホワイトヘッドはこの「この」が「感覚において与えられた何か」を示し、「素元的」とみなせると述べている。

観察すると、リンゴは黄色と赤の中間の不定な色か、あるいは両方まだらである。したがって色は「赤」でも「黄」でもないが、リンゴを選別する際にはこの二つのカテゴリしか使えない。「50%赤い」と言えるかもしれない。言い換えれば、このリンゴが赤いというのは50%真である。したがって、Pは50%真であり50%偽である。次を考えてみよう：

このリンゴは赤く、かつ赤くない。

すなわちPかつnot-P。これは無矛盾律に、延いては二値性に違反する。しかし、これはPが部分的にしか真でないため、これらの法則の部分的な否定にすぎない。Pが100%真であれば、not-Pは100%偽となり、Pかつnot-Pは成り立たないため矛盾はない。

一方、排中律は保たれる。なぜなら「かつ」（and）より「または」（or）は包含的であるため、Pかつnot-Pはpまたはnot-Pを含意するからである。Pかつnot-Pが偽となる場合（Pが100%真または偽の場合）は二値論理が考える場合と同じであり、同じ規則が適用される。

曖昧な（未定の）場合への三値論理の適用例：クリーン（1952年）Stephen C. Kleene 1952 Introduction to Metamathematics, 6th Reprint 1971, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, NY, .（§64, pp. 332–340）は、部分再帰関数を含むアルゴリズムが値を返さず「u」＝未定という状況で終わる場合のための三値論理を提示している。「t」＝「真」、「f」＝「偽」、「u」＝「未定」とし、すべての命題結合子を再設計する。彼は次のように述べている：

以下は彼の「強い表」である：「強い表」はクリーンの表現。QまたはRの値として「u」が現れる場合でも、「Q V R」「Q & R」「Q → R」の値として「t」または「f」が現れうることに注意。一方「弱い表」は「正規」であり、つまりQまたはRの一方または両方に「u」が適用されるすべての場合に「u」が現れる。クリーンはこの表がウカシェヴィチ1920年の元の表と同一ではないと注記している（クリーンはp.335でこの違いを示している）。また「u」は「未定義」「不明（または値は問わない）」「当面考慮しない値」などを意味しうる、つまり最終的にtとfを除外しない第三のカテゴリである（p.335）と結論付けている。 ~Q QVR R t f u Q&R R t f u Q→R R t f u Q=R R t f u Q t f Q t t t t Q t t f u Q t t f u Q t t f u f t f t f u f f f f f t t t f f t u u u u t u u u u f u u t u u u u u u

例えば、リンゴが赤いか赤くないかの判断ができない場合、「このリンゴは赤い」という主張Qの真理値は「u」である。同様に「このリンゴは赤くない」という主張Rの真理値も「u」である。したがって「このリンゴは赤く、かつこのリンゴは赤くない」というQ AND Rは、表によれば「u」となる。また「このリンゴは赤いまたはこのリンゴは赤くない」というQ OR Rも「u」となる。

自己参照的な命題

嘘つきのパラドックスに見られるような一部の自己言及的な命題は、矛盾に陥ることなく「真」または「偽」のいずれかの定まった真理値を割り当てることができない。Andrew Irvine, "Gaps, Gluts, and Paradox", Canadian Journal of Philosophy, supplementary vol. 18 [Return of the A priori] (1992), 273–299 嘘つきのパラドックスは次のように述べられる：（A）が真であれば、「この文は偽である」が真となる。したがって（A）は偽でなければならない。（A）が真であるという仮説は（A）が偽であるという結論を導き、矛盾が生じる。

（A）が偽であれば、「この文は偽である」が偽となる。したがって（A）は真でなければならない。（A）が偽であるという仮説は（A）が真であるという結論を導き、再び矛盾が生じる。いずれにせよ（A）は真かつ偽となり、これはパラドックスである。

このパラドックスの解決策の一つとして、ブール論理（そして二値原理）の否定と、真理値が0（「偽」）から1（「真」）の間の任意の実数になりうるファジィ論理などの多値論理への置き換えがある。

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