クワイン＝パトナムの不可欠性論証（クワイン＝パトナムのふかけつせいろんしょう、）は、数と集合などの抽象的数学的対象の存在を主張する数学の哲学上の論証であり、数学的プラトン主義として知られる立場を支持するものである。哲学者ウィラード・ヴァン・オーマン・クワインとヒラリー・パトナムにちなんで名付けられ、数学の哲学における最も重要な論証の一つとされる。
不可欠性論証の要素はゴットロープ・フレーゲやクルト・ゲーデルなどの思想家に遡ることができるが、クワインによるこの論証の展開は、自然主義、確証の全体論、存在論的コミットメントの基準といった彼独自の哲学的立場を組み込んだ点で独自のものであった。パトナムは1971年の著書『論理の哲学（Philosophy of Logic）』においてクワインの論証に最初の詳細な定式化を与えた。しかし後にパトナムはクワインの思想のいくつかの側面に異を唱え、科学哲学における奇跡論法に基づく独自の不可欠性論証を定式化した。現代哲学における標準的な形式の論証はマーク・コリヴァンによるものとされており、クワインとパトナム双方の影響を受けながらも、彼らの定式化とは重要な点で異なる。それは『スタンフォード哲学百科事典』に次のように示されている。
私たちは、最善の科学理論に不可欠なすべての実体についてのみ、存在論的コミットメントを持つべきである。 数学的実体は最善の科学理論に不可欠である。 ゆえに、私たちは数学的実体に対して存在論的コミットメントを持つべきである。
抽象的対象の存在を否定する哲学者である唯名論者は、この論証の二つの前提双方に異を唱えてきた。ハートリー・フィールドによる影響力ある論証は、数学的実体は科学にとって不可欠ではないと主張する。この論証は、数学的実体への言及をすべて取り除いた形で科学的・数学的理論を再定式化する試みによって支持されてきた。ペネロープ・マディ、エリオット・ソーバー、ジョセフ・メリアを含む他の哲学者たちは、科学に不可欠なすべての実体を信じる必要はないと論じた。これらの著述家の論証が刺激となり、の新たな版が生まれた。アラン・ベーカー （哲学者）とマーク・コリヴァンはこれを支持し、数学は個々の科学的説明においても、理論全体においても不可欠であると論じる。
背景 1973年の論文「数学的真理（Mathematical Truth）」において、ポール・ベナセラフは数学の哲学の問題を提起した。ベナセラフによれば、「2は素数である」などの数学的文は数学的対象の存在を含意する。彼は、数学は独自の特別な意味論を持つべきではないという考えでこの主張を支持した。つまり、数学的文の意味は他の種類の文と同じ規則に従うべきである。たとえば、「火星は惑星である」という文が火星という惑星の存在を含意するなら、「2は素数である」という文もまた数という2の存在を含意するべきである。しかしベナセラフによれば、もし数学的対象が存在するとすれば、それらは認識不可能なものとなる。これは、数学的対象が存在するとすれば、それらは抽象的対象であり、何かを引き起こすことができず、時空間における位置を持たないためである。ベナセラフは知識の因果説に基づき、そのような対象とは誰も因果的接触に至ることができないため、それらについて知ることは不可能だと論じた。これはベナセラフの認識論的問題と呼ばれ、数学の認識論、すなわち人々が数学について何を知り、いかにそれを知るかという問題に関わる。
数学の哲学は、プラトン主義と唯名論という二つの主要な潮流に分かれる。プラトン主義は数や集合などの抽象的数学的対象が存在すると主張するのに対し、唯名論はその存在を否定する。これらの見解はいずれも、ベナセラフが提起した問題によって課題に直面する。唯名論は数学的対象の存在を否定するため認識論的問題には直面しないが、数学が独自の特別な意味論を持つべきではないという考えをめぐる問題に直面する。プラトン主義はジレンマの意味論的側面の問題には直面しないが、数学的対象についての知識がいかにして可能かを説明するのに困難を抱える。
不可欠性論証は、抽象的数学的対象への信念を正当化することによって、プラトン主義に対して提起された認識論的問題を克服しようとする。これは、数学の哲学において最も一般的に応用されるが、言語哲学や倫理学における論証も含む、広範な不可欠性論証の部類の一部をなす。最も一般的な意味では、不可欠性論証はある目的のためにその結論の真理性が不可欠または必要であるという主張に基づいて結論を支持しようとするものである。存在論—何が存在するかという研究—の分野に適用されると、それらは直接的に調査できない論争的な実体の存在を確立するためのクワイン的な戦略を例証する。この戦略によれば、他のより論争の少ない実体についての理論を定式化するためにこれらの実体が不可欠であることが、それらの存在の証拠となる。数学の哲学においては、科学理論を定式化するために数学的実体が不可欠であることが、それらの数学的実体の存在の証拠とされる。
論証の概観 マーク・コリヴァンは『スタンフォード哲学百科事典』において、この論証を次の形式で提示する。
私たちは、最善の科学理論に不可欠なすべての実体についてのみ、存在論的コミットメントを持つべきである。 数学的実体は最善の科学理論に不可欠である。 ゆえに、私たちは数学的実体に対して存在論的コミットメントを持つべきである。
ここで、ある実体への存在論的コミットメントとは、その実体が存在すると信じることへのコミットメントである。第一前提は二つの基本的な前提に基づいている。自然主義と確証の全体論である。自然主義によれば、何が存在すると信じる最善の理由があるかを判断するために、最善の科学理論に目を向けるべきである。クワインは自然主義を「現実は、先行する哲学においてではなく、科学そのものの中において同定され記述されるべきだという認識」と要約した。確証の全体論は、科学理論は孤立して確証されることはできず、全体として確証されなければならないという見解である。したがって確証の全体論によれば、科学を信じるべきであるなら、最善の科学理論が前提とする数学を含む、すべての科学を信じるべきである。この論証は主に、科学的実在論者である唯名論者に向けられており、電子やクォークなどの理論的実体への信念の正当化と同様の仕方で数学的実体への信念を正当化しようとする。クワインは、そのような唯名論者は存在論に関して「ダブルスタンダード」を持っていると論じた。
不可欠性論証は、科学に不可欠な数学の部分への信念のみを論証するという点で、プラトン主義への他の論証と異なる。クワインが「存在論的権利のない数学的娯楽」と呼んだ集合論の最も抽象的な部分への信念を必ずしも正当化しない。一部の哲学者はこの論証から、数学的知識はア・ポステリオリであるという結論を引き出す。数学的真理は、それが不可欠な科学理論の経験的確証を通じてのみ確立できることを含意するためである。これはまた、経験的に知られる真理は一般に偶然的であるため、数学的真理も偶然的であることを示す。このような立場は、数学的知識を必然的真理のア・プリオリ知識と見る伝統的な見方と矛盾するため、論争的である。
クワインの元の論証はプラトン主義への論証であるが、不可欠性論証は文実在論—数学理論は客観的に真であるという主張—というより弱い主張を論証するためにも構築できる。これは抽象的数学的対象が存在することを必ずしも含意しないため、より弱い主張である。
主要概念
不可欠性 不可欠性論証の第二前提は、数学的対象が最善の科学理論に不可欠であると述べる。この文脈では、不可欠性（indispensability）は除去不可能性（ineliminability）と同じではない。なぜならいかなる実体も、理論システムの他の部分を適切に調整することで除去できるからである。不可欠性とはむしろ、ある実体を除去すると理論の魅力が減じてしまうということを意味する。理論の魅力は、説明力、経験的妥当性、単純性などの理論的美徳の観点から評価できる。さらに、ある実体が理論にとって不可欠でないなら、それなしで同等の理論を定式化できる。これは例えば、一方の理論における各文が他方の文の言い換えである場合、または二つの理論が同じ経験的観察を予測する場合に当てはまる。
『スタンフォード哲学百科事典』によれば、不可欠性論証に対する最も影響力ある論証の一つはハートリー・フィールドによるものである。それは数学的対象が科学に不可欠であるという主張を否定するものであり、フィールドは科学理論を数学的対象を参照しない形で再定式化または「唯名論化」することでこの論証を支持してきた。このプロジェクトの一環として、フィールドはニュートン力学を時空間点間の関係の観点から再定式化した。数値的な距離を参照する代わりに、フィールドの再定式化は「間にある」「合同である」などの関係を使用して、数の存在を含意することなく理論を復元する。ジョン・バーゲスとマーク・バラガーは、この唯名論化プロジェクトを量子力学を含む現代物理学の領域に拡張する手順を踏んでいる。デイヴィッド・マラメントやなどの哲学者は、そのような再定式化が成功するかどうか、あるいはとくに量子力学の場合に可能かどうかさえ疑問視する。
プラトン主義に代わるフィールドの立場は数学的虚構主義であり、数学的理論は存在しない抽象的対象を参照するため偽であると主張する。不可欠性論証に対する論証の一環として、フィールドは偽である数学的言明が科学的予測を偽にすることなく科学に用いられることがいかにして可能かを説明しようとしてきた。彼の論証は、数学は保守的であるという考えに基づく。数学的理論は、科学理論と組み合わせたときに、科学理論単独では導かれなかったような物理世界についての含意を生じさせない場合に保守的である。これにより、数学が科学的予測を偽にすることなく科学理論に使用されることが可能になるという説明が得られる。さらにフィールドは、数学が応用においていかに役立つかを具体的に明示しようとした。フィールドは、数学的言語が複雑な物理系について語るための有用な略記を提供するため、数学は科学に有用であると考える。
数学的実体が科学に不可欠であることを否定するもう一つのアプローチは、数学的理論自体を数学的対象の存在を含意しない形に再定式化することである。チャールズ・チハラ、ジェフリー・ヘルマン、パトナムは、数学的対象へのすべての言及を可能性についての主張に置き換える様相的再定式化を提案した。
自然主義 不可欠性論証の根底にある自然主義は、真理を決定するために科学的方法の優位性を主張する方法論的自然主義の一形態である。言い換えれば、クワインの自然主義によれば、最善の科学理論が何が存在するかについての最善の指針である。この形態の自然主義は、哲学が科学に先立ち究極的に科学への信念を正当化するという考えを否定し、代わりに科学と哲学は世界への単一の統合された調査の一部として互いに連続していると主張する。そのため、この形態の自然主義は科学の存在論的コミットメントを覆すことができる先行する哲学という考えを排除する。これは、抽象的対象は物理的でないため存在しないと主張する形而上学的自然主義の諸形態と対照をなす。そのような自然主義の一例はデイヴィッド・アームストロングが支持するもので、因果的実体のみが存在し非因果的実体は存在しないと述べるエレア原理という原則を掲げる。クワインの自然主義は、哲学的原則は科学を凌駕できないため、そのような原則を用いて数学への科学の存在論的コミットメントを覆すことはできないと主張する。クワインは自然主義を根本的な前提として保持したが、後の哲学者たちはそれを支持する論証を提示した。クワイン的自然主義を支持する最も一般的な論証は、実績論証（track-record argument）である。これらは科学の哲学や他の分野と比較した科学の成功した実績に訴える論証である。デイヴィッド・ルイスは1991年の著書『Parts of Classes』の一節でこのような論証を有名に行い、数学と比較した哲学の実績を嘲り、哲学が科学を凌駕するという考えは不条理だと論じた。実績論証の批判者は、それが哲学的論証と方法を完全に信用失墜させる方向に行き過ぎており、哲学が一様に悪い実績を持つとする考えに異を唱える。
クワインの自然主義はまた、数学的実践と矛盾するとしてペネロープ・マディによっても批判されてきた。不可欠性論証によれば、数学はその正当性が自然科学に依存するという意味で自然科学に従属する。しかしマディは、数学者たちは自分たちの実践が自然科学の活動によって何ら制限されているとは信じていないように見えると論じる。たとえば、ツェルメロ＝フレンケル集合論の公理をめぐる数学者たちの議論は、自然科学への応用に訴えない。同様に、チャールズ・パーソンズは、数学的真理は科学の結果に依存しないことを示唆する形で即座に明らかなように見えると論じた。
確証の全体論 確証の全体論は、科学理論と仮説は孤立して確証されることができず、より大きな理論の集まりの一部として共に確証されなければならないという見解である。マイケル・レスニクが示したこの考えの例は、油と水を一緒に加えると混ざらないため分離するのが観察されるという仮説である。この仮説は孤立して確証されることができない。なぜなら、それらの分離を妨げる化学物質が存在しないこと、観察者の目が分離を観察するのに十分に機能していることなどの前提に依拠するからである。数学理論も同様に科学理論によって前提とされるため、確証の全体論は科学理論の経験的確証がこれらの数学理論も支持することを含意する。 代替文=ペネロープ・マディの写真|サムネイル|確証の全体論への重要な反論はペネロープ・マディによるものである マディによる反論によれば、不可欠性論証の第一前提を構成する自然主義と確証の全体論の論題は互いに緊張関係にある。マディは、自然主義は真理を明らかにするための最善の方法として科学者が用いる方法を尊重することを含意するが、科学者たちは科学に不可欠なすべての実体を信じることが必要であるかのようには行動しないと述べた。この点を説明するため、マディは原子論の例を用いる。1860年までに原子が科学者の最善の理論に不可欠であったにもかかわらず、その実在は1913年に直接実験によって検証されるまで普遍的には受け入れられなかったと述べる。マディやメアリー・レングなどは、科学者が無限に深い水域を前提とするなどの数学的理想化を、それが真かどうかを考慮することなく使用するという事実にも訴える。マディによれば、これは科学者たちが数学の不可欠な使用を数学または数学的実体への信念の正当化と見なしていないことを示す。全体として、マディは自然主義を支持し確証の全体論を拒否することを論じ、科学に不可欠なすべての実体を信じる必要はないと主張する。
エリオット・ソーバーによる別の反論は、数学理論は科学理論と同じ仕方では検証されないと主張する。ソーバーは、科学理論は最も多くの経験的支持を持つ理論を見つけるために代替理論と競合すると述べる。しかし数学理論が競合する代替理論は存在しない。すべての科学理論が同じ数学的核を共有するからである。その結果、ソーバーによれば、数学理論は科学理論の経験的支持を共有せず、したがって確証の全体論は拒否されるべきである。
これらの反論が提起されて以来、レスニク、アラン・ベーカー、パトリック・ディーヴニー、デイヴィッド・リギンス、ヤコブ・ブッシュ、アンドレア・セレーニを含む多くの哲学者が、確証の全体論を論証から排除できると論じてきた。たとえばレスニクは、証拠の概念よりも科学的探究を行う上での数学の実践的重要性に焦点を当てた実用的不可欠性論証を提示した。
存在論的コミットメント 論証のもう一つの重要な部分は存在論的コミットメントの概念である。ある理論の存在論的コミットメントは、その理論によれば存在するすべてのものである。クワインは、最善の科学理論がコミットするものと同じ実体に対して人々が存在論的コミットメントを持つべきであると—つまりそれらが存在すると信じることにコミットするべきであると—考えた。彼は「存在論的コミットメントの基準」を定式化した。これは、科学理論を通常の言語から一階述語論理へと翻訳または「整序」することによって科学理論のコミットメントを明らかにしようとするものである。通常の言語では、クワインは「存在する（there is）」という言葉は存在論的コミットメントを持たなければならないと考えた。何かが「存在する」と言うことは、そのものが存在することを意味する。そしてクワインにとって、一階述語論理における存在量化子が「存在する」の自然な同等物であった。したがって、クワインの基準は理論の存在論的コミットメントを、整序された理論が量化するすべての対象とみなす。
クワインが科学理論を一階述語論理へ翻訳することが重要だと考えたのは、通常の言語は曖昧であるのに対し、論理は理論のコミットメントをより正確にできるためである。理論を一階述語論理へ翻訳することは、二階述語論理などの高階論理へ翻訳するよりも利点がある。二階述語論理は一階述語論理と同じ表現力を持つが、完全性やコンパクト性などの一階述語論理の技術的強みの一部を欠く。二階述語論理はまた「赤さ」のような性質への量化を許すが、性質への存在論的コミットメントがあるかどうかは論争的である。クワインによれば、そのような量化は単に非文法的である。
はクワインの存在論的コミットメントの基準に異を唱え、一階述語論理における存在量化子は必ずしも存在論的コミットメントを持たないと述べた。アッズーニによれば、存在量化の通常言語的同等物である「存在する（there is）」は、存在論的コミットメントを含意することなく文の中でしばしば用いられる。とくにアッズーニは「実際の探偵に崇拝されている架空の探偵が存在する」のような文において架空の対象を参照する場合の「存在する」の使用を指摘する。アッズーニによれば、ある実体への存在論的コミットメントを持つためには、それへの適切な水準の認識論的アクセスが存在しなければならない。これは例えば、それを仮定するためにいくつかの認識論的負荷を乗り越えなければならないことを意味する。しかしアッズーニによれば、数学的実体は「公理の集合を書き記す」だけで誰もがいつでも仮定できる「単なる想定」であるため、実在するものとして扱う必要はない。
論証のより現代的な提示は必ずしもクワインの存在論的コミットメントの基準を受け入れず、通常の言語から直接存在論的コミットメントを決定することを許す場合もある。
数学的説明 ジョセフ・メリアが提起した論証の一つの潜在的問題は、それが科学における数学の役割を考慮していないという点である。メリアによれば、数学が適切な仕方で科学に不可欠である場合にのみ数学を信じる必要がある。とくに、それは科学的説明に不可欠である必要がある。しかしメリアによれば、数学は科学において純粋に表現的な役割を果たし、単に「具体的対象についてより多くのことを言えるようにする」にすぎない。彼はこの理由から数学へのコミットメントを撤回することは正当であると論じ、彼が「回避（weaseling）」と呼ぶ言語的現象を引き合いに出す。これは人が言明を行い、後にその言明が含意したことを撤回する場合である。日常的な文脈で情報を伝えるために使用される回避の例は「セミナーに来た全員にハンドアウトがあった。しかし遅れて来た人は受け取れなかった」というものである。ここでは一見矛盾する情報が伝えられているが、好意的に読めば遅れて来た人以外の全員にハンドアウトがあったと単純に述べているにすぎない。同様に、メリアによれば、数学は科学に不可欠であるが「ほぼすべての科学者が……数学的対象というものは存在しないと否定している」ことは、数学的対象へのコミットメントが回避されていることを示唆する。メリアにとって、そのような回避は数学が科学において真に説明的な役割を果たしていないため許容される。
確証の全体論への論証と、数学が科学において真に説明的な役割を果たしていない場合は数学への信念を保留できるというメリアの論証の両方に触発され、コリヴァンとベーカーは説明的不可欠性論証を擁護した。この版の論証は、確証の全体論への依存を最善説明への推論に置き換えることで取り除こうとする。最善の科学理論の経験的支持を引き継ぐからではなく、最善の科学的説明に現れるため、数学的対象を信じることが正当化されると述べる。それは『インターネット哲学百科事典』によって次の形式で提示される。
経験的現象の真に数学的な説明が存在する。 そのような説明における理論的想定にコミットすべきである。 ゆえに、当該数学における数学的実体にコミットすべきである。
代替文=3と4の倍数が12まで強調された数直線。セミのイラストが13の位置にある。|サムネイル|素数でない生活環と比較して素数の生活環が有利である理由を示す数直線。捕食者が3年または4年の生活環を持つ場合、12年などの非素数の生活環とすぐに同期する。しかし13年の周期ゼミの生活環とは39年および52年後まで同期しない。 数学の説明的不可欠性の例としてベーカーが示したのは周期ゼミであり、通常13年または17年の生活環を持つ昆虫である。13と17が素数であるため、これは進化上の優位性であると仮定されている。素数には非自明な因数がないため、捕食者がセミの生活環と同期する可能性が低くなる。ベーカーはこれが、数学、とくに数論が経験的現象を説明する上で重要な役割を果たす説明であると述べた。
他の重要な例は、蜂の蜂の巣の六角形構造の説明とケーニヒスベルクの橋を一度だけ渡ってすべての橋を渡ることの不可能性の説明である。この論証の形式への主な反応は、メリア、クリス・デイリー、サイモン・ラングフォード、ユハ・サーツィなどの哲学者が採用したもので、経験的現象の真に数学的な説明は存在せず、数学の役割は表現的または指示的なものであると主張することである。
歴史的発展
クワインへの先駆者と影響 代替文=ゴットロープ・フレーゲの写真|サムネイル|不可欠性論証の側面はゴットロープ・フレーゲに遡ることができる。 この論証はウィラード・ヴァン・オーマン・クワインとヒラリー・パトナムと歴史的に結びついているが、ゴットロープ・フレーゲやクルト・ゲーデルなどの先駆的思想家に遡ることができる。数学的形式主義—「2」などの数学的記号の操作方法についての規則を持つチェスのようなゲームに数学を見立てる見解—への論証において、フレーゲは1893年に「算術を遊戯から科学の地位に高めるのは適用可能性（applicability）のみである」と述べた。ゲーデルは、1947年の集合論の公理についての論文において、新たな公理が十分に検証可能な帰結を持つとすれば、それは「いかなる十分に確立された物理理論とも少なくとも同じ意味で受け入れられなければならないだろう」と述べた。フレーゲとゲーデルの論証は、自然主義や実践の従属性などの特徴を欠くため、後のクワイン的不可欠性論証とは異なる。このことから、ピエランナ・ガラヴァーゾを含む一部の哲学者は、それらは不可欠性論証の真の例ではないと述べている。
確証の全体論という哲学的見解を発展させる中で、クワインはピエール・デュエムの影響を受けた。20世紀初頭、デュエムは経験的内容を持たず反証不可能だと批判者に言われた慣性の法則を擁護した。これらの批判者は、この法則が観察の基準慣性系を仮定することなしに観察可能な予測を行わず、反証事例は基準系の選択を変えることで常に回避できるという事実に基づいてこの主張を行った。デュエムはこの法則が基準系を固定する補助仮説と対にされると予測を生じさせるため、他のいかなる物理理論とも異ならないと答えた。デュエムは、個々の仮説は単独では観察可能な予測を行えないかもしれないが、仮説の体系の一部として確証されうると述べた。クワインはこの考えを数学的仮説にまで拡張し、数学的仮説は単独では経験的内容を持たないが、それらが含まれる仮説体系の経験的確証を共有することができると主張した。この論題は後にデュエム＝クワイン・テーゼとして知られるようになった。
クワインは自身の自然主義を「第一哲学という目標の放棄」と表現した。「それは自然科学を、誤りうるし修正可能ではあるが何らかの超科学的審判機関に答える必要はなく、観察と仮説演繹法を超えた正当化も必要としない現実への探究と見なす。」「第一哲学」という用語は、デカルトが疑いの方法を用いて科学の基礎を確立しようとした第一哲学についての省察に言及したものである。クワインは、デカルトが科学の基礎を提供しようとした試みは失敗し、科学の基礎的正当化を見つけるというプロジェクトは拒否されるべきだと述べた。哲学は科学的方法よりも説得力ある正当化の方法を提供できないと考えたためである。
クワインはまた、師のルドルフ・カルナップなど論理実証主義者の影響も受けており、彼の自然主義は彼らの思想の多くへの応答として定式化された。論理実証主義者にとって、すべての正当化された信念は木などの通常の対象についての知識を含め感覚与件に還元可能であった。クワインは感覚与件を自己矛盾的として批判し、世界についての経験を組織するために通常の対象への信念が必要だと述べた。また、感覚経験が通常の対象についての信念をいかに提供するかについての最善理論であるため、科学も信じられるべきだと述べた。論理実証主義者は個々の主張は感覚与件によって支持されなければならないと述べたが、クワインの確証の全体論は科学理論が数学理論と本質的に結びついていることを意味するため、科学理論への証拠は数学的対象への信念を、それらが直接知覚されないとしても正当化できる。
クワインとパトナム クワインは不可欠性論証の定式化によって最終的にプラトン主義者となったが、キャリアの初期段階では唯名論に共感していた。1946年の講義で彼は次のように述べた。「今、私のカードを明かしましょう：唯名論を受け入れられるようになりたい」彼とネルソン・グッドマンはその後、「構成的唯名論への歩み（Steps toward a Constructive Nominalism）」と題する1947年の共同論文を発表した。これはクワインの「自然科学のすべてを表現できる唯名論的言語を設定する」という継続中のプロジェクトの一環であった。しかし翌年のジョセフ・ヘンリー・ウッドガーへの手紙で、クワインは「抽象的実体の前提と外界の前提は同種の前提である」とより確信するようになっていると述べた。彼はその後1948年の論文「何が存在するか（On What There Is）」を発表し、「数学の神話と物理学の神話の間の類比は……驚くほど近い」と述べ、最終的な「消極的プラトン主義」の受容への転換を示した。
1950年代を通じてクワインはプラトン主義、唯名論、構成主義を妥当な見解として定期的に言及し、どれが正しいかについてまだ決定的な結論に達していなかった。クワインがプラトン主義を受け入れたのが正確にいつかは不明である。1953年に彼はグッドマンとの1947年の論文の唯名論的主張から距離を置いたが、1956年にはグッドマンがまだクワインの唯名論からの「離反」を「いくらかまだ暫定的」と表現していた。リーヴェン・デコックによれば、クワインは1960年の著書『語と対象』の刊行までに抽象的数学的実体の必要性を受け入れており、そこで「徹底した唯名論的学説は実行するには多すぎる」と述べている。しかし、多くの論文で不可欠性論証の示唆を発表した一方で、彼はそれに詳細な定式化を与えることはなかった。