ユール・サイモン分布

ユール・サイモン分布（ユール・サイモンぶんぷ、）は確率論や統計学における離散確率分布の一種。その名前はイギリスの統計学者とアメリカの学者ハーバート・サイモン()に依拠しているが、サイモンはこの分布のことを単にユール分布と呼んでいた。

この分布は整数と実数パラメータのもとで定義され、その確率質量関数は

で与えられる。ここで、はベータ関数である。上昇階乗冪を用いれば、確率質量関数を

と表すこともできる。ただしはガンマ関数とした。特にが整数であれば、階乗だけで確率質量関数を書き下すことができる:

この分布からの観測値があれば、パラメータをで推定することができる。

スターリングの近似より、確率質量関数はなるに対して

サムネイル|300x300ピクセル| としたときのユール・サイモン分布(赤)とジップの法則による漸近線(青) のように振る舞う。よって、十分大きいではこの分布はジップの法則を実現する。

なお、累積分布関数は以下のようにベータ関数に関する畳み込み級数を利用することで導出できる:

出現する現象ユール・サイモン分布は、ユールが研究した生物学上のモデル(「ある生物の高等分類群に含まれる種の数」が時間とともにどう増えていくかを説明するモデル)の極限分布として1925年に最初に提唱された。ユールはこの分布を用いて、ある属から一様無作為に選択された種の数に関する無限の時間が経過した後の分布が特定の形をとり、その尾部において冪乗則的な振る舞いを見せることを証明した。

30年後、サイモンは大規模なテキストにおける新語の出現を記述するために、時間離散型のモデルを提案した。単語数が発散する際の各単語の出現回数の極限分布は、ユールの提唱した確率分布に一致する。この事実により、その極限分布に一般的に「ユール・サイモン分布」という名称が付けられた。

の文脈において、もまた、特定のパラメータ設定においてユール・サイモン分布と等しい漸近的な次数分布を示し、より一般的なパラメータ設定においてもべき法則的な特性を示す。他の優先的選択ランダムグラフモデルについても、同様のことが言える。

優先的選択過程は、事象を「壺から取り出す玉の色の観測」へと簡略化する壺問題でも調べられる。最初にある色の玉が1個だけ入っている壺を用意し、「1ステップ」を

・確率で、壺のどの玉とも異なる色の玉を1個壺に入れる

・確率で、壺から玉を取り出し、その玉と同じ色の玉と、今取り出したばかりの玉の計2個を壺に入れる

で定義する。このステップを無限回行った後、ちょうど個だけ壺の中に含まれている色の数が壺の中にある玉の色全てに占める割合は、なる変換の下でユール・サイモン分布に従う。

ユール・サイモン分布は複合確率分布の一種でもある。具体的には、確率変数が指数分布に従うとする:

ここで、その確率密度関数は

である。一方、確率変数が以下の幾何分布に従うとする:

幾何分布の確率質量関数はに対して

である。すると、の同時確率分布からを周辺化することで、の周辺分布としてユール・サイモン分布が出現する:

なお、途中でなる変数変換を施した。

パラメータが未知であるユール・サイモン分布からの独立な観測のもとでのの最尤推定は、以下の不動点反復法により求めることができる:

このアルゴリズムはGarcia & Manuelによって、尤度を直接最適化する手法として提唱された。

Roberts & Robertsは上の式を一般化し、の事前確率がガンマ分布であるとした時のの最大事後確率推定値が次の不動点反復法で与えられることを示した:

ただし、はガンマ分布のそれぞれおよびレート母数である。

一般化ユール・サイモン分布の2パラメータに依存する形への一般化の一つとして、ベータ関数を不完全ベータ関数へと変形するものがある。この形での一般化ユール・サイモン分布は

で与えられる(ただし)。の場合、オリジナルのユール・サイモン分布を実現する。また、この分布はベータ負二項分布の特別な場合でもある。

ユール・サイモン分布

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