数学の関数解析学、特に補間空間論や実解析の分野において、ボイド指数（ボイドしすう、）またはボイドの指数（ボイドのしすう、）とは、バナッハ関数空間（特に再配列不変空間）における作用素の縮小・膨張挙動を定量化する実数の対である。
1969年にカナダの数学者デイヴィッド・ボイド（）によって導入されたBoyd, D. W. (1969). Indices of function spaces and their relationship to interpolation. *Pacific Journal of Mathematics*, 30(2), 331-354.。
動機 空間における解析では、指数 が空間の可積分性や幾何学的・可換解析的性質（ハーディ＝リトルウッドの極大関数やヒルベルト変換などの有界性）を決定づける基本的な役割を果たす。
しかし、オルリッチ空間やローレンツ空間をはじめとする一般の再配列不変バナッハ関数空間（rearrangement-invariant Banach function space）では、単一の一定な指数 が存在しない。そのため、これらの一般化された関数空間において「 空間の指数 に相当する幾何学的指標」として考案されたのがボイド指数である。
ボイド指数を導入することで、マルチンケーヴィッチの定理を一般の再配列不変空間上へ大幅に拡張し、多様な解析的作用素の有界性を一元的に判定することが可能となる。
定義 を測度空間上のバナッハ関数空間（再配列不変空間）とする。
に対し、関数 のスケール変換（膨張）を行う膨張作用素（dilation operator） を考える。1次元の場合は で定義される（高次元の場合は測度の正規化を伴う）。
膨張作用素 の作用素ノルムを とおく。この関数 は劣乗法性（）を満たす。
このとき、下ボイド指数（lower Boyd index） および 上ボイド指数（upper Boyd index） は次のように定義される：
（文献によっては、指数そのものの逆数 や をボイド指数と呼ぶこともある）。
一般に、ボイド指数は次の評価を満たす：
具体例 空間: （）の場合、下ボイド指数と上ボイド指数は一致し、元の指数 に等しい：
ローレンツ空間 : 第二指数 にかかわらず、下・上ボイド指数は共に となる。 バーンバウム＝オルリッチ空間 : ヤング関数 の成長度によってボイド指数が定まる。一般には となる。
性質と応用
ボイドの補間定理 ボイド指数の最も重要な応用の一つが、ボイドによる直交写像や補間作用素に関する補間定理（Boyd's interpolation theorem）である。
弱型 かつ 弱型 （ただし ）である線型作用素 を考える。
再配列不変バナッハ関数空間 のボイド指数が
を満たすならば、作用素 は 上で強型、すなわち有界作用素 となる。
特異積分および極大関数への応用 ハーディ＝リトルウッドの極大関数: 極大演算子 が再配列不変空間 上で有界であるための必要十分条件は、下ボイド指数が 1 より厳密に大きいこと（）である。 ヒルベルト変換・カルデロン＝ジグムント作用素: これらの特異積分作用素が 上で有界であるための必要十分条件は、ボイド指数が両端を含まないこと（）である。
脚注
関連項目 バナッハ空間 バナッハ関数空間 関数空間 マルチンケーヴィッチの定理 Lp空間 バーンバウム＝オルリッチ空間 ハーディ＝リトルウッドの極大関数 ヒルベルト変換
参考文献