シュワルツの核定理（しゅわるつのかくていり、）とは、テスト関数（＝コンパクトな台を持つ級の関数）に（シュワルツ超関数をも許容した）関数を対応させる連続で線形な汎関数は必ずシュワルツ超関数を核として持つ積分変換

として書けるという定理である。

ここでの値域が広いほど定理が強くなる事に注意されたい。したがって例えばの値域を通常の関数のみに狭めたりしたバージョンの定理も上記の定理から従う。

なお、超関数をも許容している関係で実際には微分をも含む可能性がある事に注意されたい。例えばがデルタ超関数の回微分を使ってと書けていれば、

のようにの回微分で書ける。

準備 本節ではシュワルツの核定理について述べる準備として、シュワルツ超関数について簡単に復習する。

テスト関数、シュワルツ超関数 の開集合に対し、上の複素数値関数が上のテスト関数であるとは、が級関数であり、しかもの台がコンパクトでかつに含まれているものを指す。テスト関数全体の集合に適切な位相を入れる事でを位相ベクトル空間とみなす（詳細はシュワルツ超関数の項目を参照されたい）。

上のシュワルツ超関数、あるいは単に超関数とは、上の値の連続な線形汎関数の事を指す。上の超関数全体の集合をと書く。超関数をこのように定義する背景として、（局所可積分な）関数に対し、を 　　...（）

により定義すると、は上の値の連続な線形汎関数になる事がある。このため上の値の連続線形汎関数を関数概念の一般化とみなし、超関数と呼ぶのである。

超関数の事を関数のような記号で形式的にとも書く。またはの線形汎関数なので、の元をに作用させたものをと書く。（）に習い、の事を 　　...（）

とも表記する。

急減少関数、緩増加超関数 を上の複素数値関数とする。任意の多重指数、に対しが有界になるとき、を急減少関数という。ここでは多重指数による微分を表す。

急減少関数関数全体の集合に適切な位相を入れる事で位相ベクトル空間とみなし、上の値の連続な線形汎関数の事を緩増加超関数という。緩増加超関数と急減少関数に対し、、といった表記を通常の超関数の場合と同様に用いる。（）の記法も同様に用いる。

定理

記号 シュワルツの核定理を記述するためいくつか記号を定義する。、を開集合とし、上のテスト関数と上のテスト関数に対し、上のテスト関数を

により定義する。さらにを上の超関数とするとき、各に対し、

という写像は、という2つの連続線形汎関数の合成なので連続であり、したがっては上の超関数である。この超関数を

という記号で表す事にする。この記号を用いるのは、（）の記法を用いると、

が成立することから、を（）のように書くと上式をフビニの定理の超関数版として解釈できる事による。

定理の記述 、を開集合とし、を上の超関数とするとき、

により線形汎関数を定義する事ができる。ここでは（）により定義される超関数である。定義から明らかに 　　…（） が成立する。上式ではの引数が関数である事を強調するために「」でなく「」と書いた。

上述のように上の超関数から（）を満たす連続線形汎関数が定まるが、シュワルツの核定理はこれとは逆に連続線形汎関数から超関数が再現できる、という趣旨の定理である。

上記の定理が存在を保証する超関数をの核（）という。（）式はは超関数を核とする積分変換として書ける事を意味している。

以上の議論から明らかに以下の系が成立する：

平行移動に関して不変な場合 とし、テスト関数とに対し、の平行移動を

により定義する。が平行移動に関して不変な場合は、シュワルツの核定理における核は

という形で書ける： ここで「」は（超関数に関する）畳み込みである。

上記の定理においてはテスト関数であるが、畳み込みはがより一般にコンパクトな台を持つ超関数に対しても定義可能である。（なお、の性質が十分よければ（コンパクト台を持つとは限らない）超関数に対しても定義可能である）。

よっての定義域をコンパクト台を持つ超関数の集合に拡張し、

とする事ができる。このような拡張を行った後、デルタ超関数をに入れると、 　　…　　…（）

が成立する。すなわち、上記の定理に登場する超関数は、にデルタ超関数を入力したときの出力に対応している。

制御理論や信号処理などの分野では上記の定理をLTIシステムの具体的記述を求める際に用いている。特に（）はLTIシステムのインパルス応答がになる事を意味しており、LTIシステムの記述に工学的な解釈を与える。詳細はLTIシステムの項目を参照されたい。

緩増加超関数の場合 本節で述べた定理はいずれも緩増加超関数に対しても成立する。上の任意の緩増加超関数はエルミート多項式を用いて 　　　…（） のように展開できる事が知られており、この事実を用いると、（緩増加超関数版の）シュワルツの核定理が存在を保証する核を具体的に記述できる。

一般化 デュドネは多様体上に成果を拡張しており、『Treatise on Analysis』の23.9～23.12章にこれに関する記述がある。

グロタンディークは論文においてが核型空間、が局所凸位相ベクトル空間の場合にシュワルツの核定理を拡張している。詳細はこの記事の英語版を参照されたい。

超関数のテンソル積 シュワルツの核定理を使うと超関数同士のテンソル積を定義する事ができる。前節同様、を開集合とし、、をそれぞれ上、上の超関数とし、を

という線形汎関数とすると、シュワルツの核定理より上の超関数で

が任意のに対して成立するものが存在する。

、、に対し、（）の記法を用いて

と定義すると、次が成立する：とをベクトル空間とみなした時のベクトル空間としてのテンソル積を区別のため「」と書くことにすると、超関数のテンソル積を使う事により、

という線形汎関数を作る事ができるが、（超関数の空間、は局所凸位相ベクトル空間でありしたがって一様空間なのでその一様構造により）を完備化したものをと書くことにすると、上記の線形汎関数はからの写像に拡張でき、しかもその写像が同型になる事が知られている。よって系S2から以下の事実が従う：上記の定理は、有限次元ベクトル空間において線形汎関数がに対応する行列を係数とするテンソル積（はの基底）として表現できるという事実を超関数の空間に拡張したものになっている。

実際、上記の定理の緩増加超関数版であれば、（）のように無限次元の行列として表現可能である。

緩増加超関数の場合 本節で述べた定理はいずれも緩増加超関数に対しても成立する。

注

注釈

出典

参考文献

シュワルツの核定理関連

超関数全般

関連項目