古典群

群論において、古典群とは、有限次元ベクトル空間および非退化双線型形式、半双線型形式、二次形式、エルミート形式から生じる行列の乗算群である。リー群において、これらには実・複素・四元数の一般・特殊線形群、直交群、ユニタリ群、斜交群、およびそれらの不定符号が含まれる。

線型代数群の用語では、これらはディンキン図形で表される簡約群である。対応する分類は、、、、である。

古典群の用語は、ヘルマン・ワイル著The Classical Groups: Their Invariants and Representations和訳書として、蟹江　幸博訳の『古典群不変式と表現』がある。

丸善出版より出版されている。に由来する。単純リー群においては、古典群は例外型リー代数G_2、F_4、E_6、E_7、E_8と対照的に置かれているWybourne, B. G. (1974). Classical Groups for Physicists, Wiley-Interscience. .。

本記事では、実数ℝ、複素数ℂ、四元数ℍから始め、任意の体における一般的定式化について論じる。

概要古典群という用語には、文献中に密接に関連する2つの用法が見られる。古い行列群についての文献では、ℝ、ℂ、そしてℍこれらの空間上の非退化形式を保存する群とともに、古典群は線形群として扱われている。現代の代数群理論では通常、A、B、C、D型の単純リー群を指す。

この記事では、以下の用語を以下の意味で用いる。

一般線形群：GL(n,C) 特殊線形群：SL(n,C) 対称双線型形式斜交群エルミート形式と結びついたユニタリ群

複素数ℂ上では、単連結古典型リー代数は、A、B、C、D型のどれかに関係する。コンパクト実形式は、SU(n)、SO(n)、Sp(n)である。

標準的な実・複素・四元数古典群を以下に示す。名称記号体保存量極大コンパクト部分群リー代数ルート系特殊線型群—複素特殊線形群—四元特殊線形群—不定符号回転群双線形が奇数なら、偶数なら複素直交群双線形が奇数なら、偶数なら実斜交群双線形複素斜交群双線形不定符号特殊ユニタリ群エルミート不定符号二次形式ユニタリ群エルミート二次形式直交群Skew-Hermitian

線形群

実・複素特殊線形群またはℂであるとき、特殊線形群は、となり、そのリー代数はとなる。は全てのトレースレスなn次元実正方行列の集合であり、は全てのトレースレスなn次元複素正方行列の集合である。

脚注

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