数学において、E6とは、78次元のコンパクトリー群で、代数群の一つである。対応するリー代数はe6である。ルート系に由来しており、その階級は6である。E6 は複素単純リー群のキリング形式に由来している。単純リー群にはAn, Bn, Cn, Dnと、例外型である, , , , がある。E6 はそのうちの一つである。
この群には基本的な複素表示がある。E7の代数表記は3階の巡回群Z/3Zであり、その外部自己同型群は2階の巡回群Z/2Zである。基本表現の次元は27であり、また同値でない双対表現の次元もまた27である。
この群は、素粒子物理学のうち大統一理論の構築において重要な役割を果たす。
代数
ディンキン図形 サムネイル|120x120ピクセル|E6のディンキン図形 E6のディンキン図形は以下の通りである。
ルート系 サムネイル|300x300ピクセル|E6の122 polytopeの72頂点ルート系。コセクター数のコクセター・ディンキン図形は である。 ルート系は6次元空間を張る。しかし、9次元ベクトル空間の方がより対称性が分かりやすい。
単純ルート系は以下の通りである。
(1,−1,0;0,0,0;0,0,0), (−1,1,0;0,0,0;0,0,0), (−1,0,1;0,0,0;0,0,0), (1,0,−1;0,0,0;0,0,0), (0,1,−1;0,0,0;0,0,0), (0,−1,1;0,0,0;0,0,0), (0,0,0;1,−1,0;0,0,0), (0,0,0;−1,1,0;0,0,0), (0,0,0;−1,0,1;0,0,0), (0,0,0;1,0,−1;0,0,0), (0,0,0;0,1,−1;0,0,0), (0,0,0;0,−1,1;0,0,0), (0,0,0;0,0,0;1,−1,0), (0,0,0;0,0,0;−1,1,0), (0,0,0;0,0,0;−1,0,1), (0,0,0;0,0,0;1,0,−1), (0,0,0;0,0,0;0,1,−1), (0,0,0;0,0,0;0,−1,1),
また、次のそれぞれ27通りづつのとの組み合わせも単純ルート系である。ここで、はで、はである。
(0,0,0;0,0,0;0,1,−1)
(0,0,0;0,0,0;1,−1,0)
(0,0,0;0,1,−1;0,0,0)
(0,0,0;1,−1,0;0,0,0)
(0,1,−1;0,0,0;0,0,0)
サムネイル|374x374ピクセル|E6ルート系のハッセ図 E6のワイル群は51840のオーダーをもつ。特殊単純群のオーダーは25920である。これはPSU4(2)、PSΩ6-(2)、PSp4(3)及びPSΩ5(3)で説明できる。
カルタン行列 カルタン行列は以下の通りである。
主な部分代数 サムネイル|613x613ピクセル|E6の78次元部分空間 E6にはF4、すなわちSU(3) × SU(3) × SU(3)部分代数があり、これは物理学においては重要な群である。そのディンキン図形は SO(10) × U(1)やSU(6) × SU(2)のディンキン図形とも見なせる。
加えて、78次元表現はE8にある。
実/複素リー代数/群の有限次元による表現の指標はすべてワイルの指標公式で与えられる。取り得る次元を小さい順に並べた数列がである。
1, 27 (重項), 78, 351 (四重項), 650, 1728 (重項), 2430, 2925, 3003 (重項), 5824 (重項), 7371 (重項), 7722 (重項), 17550 (重項), 19305 (四重項), 34398 (重項), 34749, 43758, 46332 (重項), 51975 (重項), 54054 (重項), 61425 (重項), 70070, 78975 (重項), 85293, 100386 (重項), 105600, 112320 (重項), 146432 (重項), 252252 (重項), 314496 (重項), 359424 (四重項), 371800 (twice), 386100 (重項), 393822 (重項), 412776 (重項), 442442 (重項)...
物理との関連性
この群は、11次元超弦理論や大統一理論とかかわりが深い。この群のうち、SU(3)×SU(2)×U(1)は、標準模型そのものである。
脚注