リー群およびリー代数の表現論において、基本表現とは、半単純リー群/代数の有限次元の既約表現であり、その最高ウェイトが基本ウェイトであるものを指す。例えば、古典群は基本表現である。半単純リー群またはリー代数の任意の既約表現は、カルタンによる方法によって基本表現から構成できる。よって、基本表現は任意の有限次元表現の基本的な構成要素である Proposition 8.35。
例
一般線型群(GL(n,ℂ))・・・外積代数 特殊ユニタリ群(SU(n))・・・基本表現のうちn-1個は反対称テンソル スピン群（直交群の二重被覆） E8・・・随伴表現
概要 単連結でコンパクトなリー群の既約表現は、最高ウェイトによって決定できる。規約表現は、最高ウェイトからなるリー群のウェイト格子における象限Q+の格子点である。任意の支配的な整数ウェイトが基本ウェイトの非負整数線形結合となるような、リー群の基本表現に対応する、ディンキン図形の頂点によって添え字付けされた基本ウェイトの集合が存在する。基本ウェイトによる支配的なウェイトの展開から、対応する基本表現のテンソル積を取り、その支配的なウェイトに対応する既約表現のコピーを1つ抽出できる See the proof of Proposition 6.17 in the case of SU(3)。
その他の用途
数理物理学では、基本表現は、行列によるリー群/代数の定義表現を指す場合もある。標準表現を部分群として表す。GL(n,C)またはその正規部分代数gl(n,C)基本表現の複素共役は反基本表現（または反基本表現）として知られている。
参考文献