クロス積

右|サムネイル|3次元ベクトル , のクロス積（）。クロス積は、, のなす平行四辺形の面積に等しい大きさを持ち、平行四辺形に垂直なベクトルとなる。は、3次元空間（3次元有向内積空間）において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算である。、とも。

2つのベクトル , のクロス積は乗算記号を用いて、あるいは角括弧を用いてと表される。

呼称

「クロス積」という呼称は、積の記号に十字（×）を用いることに由来する（同様にベクトルの内積は点（⋅）を用いることからドット積と呼ばれる）。またクロス積の別称として、がある。「ベクトル積」は積がベクトルとなることに由来する（同様に積はスカラーとなるため、ドット積はスカラー積とも呼ばれる）。

外積日本語ではクロス積をしばしば外積と呼び、しばしば同義語として扱う。しかし「外積」という語は、より一般には外積代数における楔積も指し、必ずしも「クロス積」とは一致しない。楔積とクロス積を区別するため、前者を外積と呼び後者をクロス積と呼ぶ。

もまた「外積」と訳されるが、こちらは直積（）を意味する。

表記 2つのベクトル , のクロス積は、以下のように表記される。

乗算記号を用いる場合：角括弧を用いる場合：

定義サムネイル|クロス積|左|232x232ピクセル 3次元空間上の2つのベクトル , のクロス積は、以下のように定義される：

ただし、は2つのベクトルのなす角の角度、はベクトルの大きさ、は2つのベクトルがなす平面に対し垂直な単位ベクトルを表す（は右手系になるように取る）。

行列式による定義

3次元の向き付けられたベクトル空間におけるクロス積は、任意のベクトル v に対してドット積との間に

の関係を満たすベクトルの二項演算である。ここで 〈 · , · , · 〉 はベクトルを標準的な基底により列ベクトルと同一視することで得られる3次正方行列である。det は行列式を表す。

成分表示標準的な基底を (e,e)=δ として、ベクトル a の成分 a=(e,a) により列ベクトルとの同一視

を行う。ベクトル a、b のベクトル積 [a,b] は

あるいは

となる。以上のことを形式的に

と表現することもある。

エディントンのイプシロン ε を用いると

である。

演算の性質クロス積の演算は様々な性質を持つ。以下で列挙する。

分配性クロス積はベクトルの和に対して分配律を満たす。すなわち、任意のベクトルに対して次が成立する：

反交換性クロス積は反交換律を満たす。すなわち、任意のベクトルに対して次が成立する：

これは、行列式の交代性やリー代数の反交換性からも説明できる。

裏を返せば、クロス積は交換律を満たさない。すなわち、多くの場合でである。

複零性クロス積は複零性を有する。すなわち、任意のベクトルに対して次が成立する：

双線型性行列式の多重線型性から、ベクトル積も双線型性である。任意のベクトルに a、b、c とスカラー k、l に対して

が成り立つ。特に k=l=0 であれば

である。内積（スカラー積）の場合は零ベクトルとの積はスカラーのゼロであるが、ベクトル積の場合は零ベクトルであることに注意が必要。

この性質は行列式とスカラー積の線型性からも確かめられる。

ベクトル三重積のドット積表現

ベクトル積による演算結果はベクトルなので、別のベクトルとのベクトル積を考えることができる。3つのベクトルのベクトル積はベクトル三重積と呼ばれている。ドット積を用いて、ベクトル三重積は

となる。

ヤコビ恒等式クロス積はヤコビ恒等式を満たす。すなわち、任意のベクトルに対して次が成立する：

非結合性クロス積は結合律を満たさない。すなわち、多くの場合でである。

微分法則クロス積では積の微分法則が成立する。

をスカラー、をベクトルとする。クロス積の微分では、

が常に成立する。つまりクロス積では積の微分法則が成立する。

積の性質クロス積の結果すなわち積は様々な性質を持つ。以下で列挙する。

元のベクトルと直交クロス積は元のベクトルのいずれとも直交する。すなわち、ドット積を用いて次が成立する：

クロス積はとがなす平面と垂直なベクトルと定義されるため、ドット積の幾何的性質より直交は自明である。これは行列式を用いてた定義と行列式の交代性からも自明である。成分を用いた証明は以下を参照。

大きさが平行四辺形の面積右|サムネイル|2つのベクトルのクロス積の大きさは、それらが作る平行四辺形の大きさとなる。2つのベクトル a、b のクロス積 a×b は、元のベクトル a、b の大きさに比例する。また、二つのベクトル a、b のなす角を θ とすれば、標準的な基底の下で

と成分表示することができる。これらのクロス積は

となる。従ってクロス積の大きさは

であり、2つのベクトルが作る平行四辺形の面積に等しい。

片方を垂直成分にしても同値クロス積の元となるベクトルの片方をその垂直成分のみにしても、クロス積は不変である。すなわち、としたとき、次が常に成立する：

直感的には、垂直成分を取り出しても張る平面は同じなため方向は変わらずなので大きさも同じ、と説明できる。大きさに関しては、平行四辺形を高さ維持したまま長方形に変形しても面積は不変、と幾何的に説明できる。

単位ベクトルとのクロス積の大きさが垂直成分単位ベクトルと対象ベクトルのクロス積は、その大きさが対象ベクトルの垂直成分になる。

単位ベクトルを、対象ベクトルをとし、とする。このとき次が常に成立する：

これはである特性から即座に導かれる。またである特性からも自明である。後述のという特性は、この垂直成分の大きさを単位ベクトルで向きを付けて取り出しているとみなせる。

スカラー三重積の絶対値が平行六面体の体積

サムネイル|150x150px|平行六面体

3つのベクトル a、b、cは、平行六面体を定義する。（図2）。この平行六面体の体積 Vについて、

が成り立つ。ここで絶対値記号を付けたのは、3つのベクトルのクロス積が負になる場合を考慮してのことである。

単位ベクトルとのベクトル三重積が垂直成分の取り出し単位ベクトルと対象ベクトルのクロス積に対して、更に単位ベクトルとのクロス積を取ると、対象ベクトルの垂直成分を取り出せる。すなわち、任意の単位ベクトルと任意のベクトルに関して、としたとき、次が成立する：

任意のベクトルは正規化で単位ベクトル化できるため、任意のベクトルに対して次が成立する：

多次元への拡張行列式を使った拡張行列式による定義を拡張して、n 次元ベクトル空間における n - 1 項演算としてのベクトル積が

を定義できる。完全反対称行列を用いれば

となる。

例えば、2次元のベクトル空間では単項演算として

となり、4次元ではそれぞれ三項演算として

となる。また、1次元では定数 1 となる。

多元数を使った拡張 3次元のクロス積

は、4元数（）のベクトル成分（の部分）の乗算

のベクトル成分で定義できる。ちなみに、スカラー成分を符号反転したは内積になっている。

3次元のクロス積はハミルトンの4元数の概念をもとにして、ウィラード・ギブズとオリヴァー・ヘヴィサイドがそれぞれ独立に、ドット積と対になる数学的概念として考案した。

これを多元数に拡張すると、n + 1 元数の乗算から n 次元でのクロス積を定義できる。つまり、実数（1元数）、複素数（2元数）、4元数、8元数の乗算から、0次元、1次元、3次元、7次元でのクロス積が定義できる（要素数が多くなるため縦ベクトルで表す）。

これら以外の次元では、必要な対称性を持つ乗算が定義できないため（これはアドルフ・フルヴィッツによって証明された）、クロス積は定義できない。また、0次元では自明なことを確認できるにすぎず、1次元のクロス積は常に零ベクトルである。

直積を使った拡張（外積）クロス積は、直積

を使って (*) と定義できる。ただしここで、反対称テンソルと擬ベクトルを等価

としたが、これをホッジ作用素で写像として明示すると

と書ける。

(*)式はそのまま、一般次元での定義に使える。ただし、これで定義できる積は、クロス積ではなく外積と呼び、

で表す。外積は3次元ではクロス積に一致するが、同義語ではないので注意が必要である。

外積は2階の反対称テンソルであり、これはホッジ作用素により、n 次元では n - 2 階の擬テンソルに写像できる。つまり、2次元では擬スカラー（0階の擬テンソル）、3次元では擬ベクトル（1階の擬テンソル）に写像できるが、4次元以上ではテンソルとして扱うしかない。

外積（）は、グラスマンによって導入されたが、当時はそれほど注目されず、彼の死後に高く評価された。

脚注

注釈

出典

参考文献

Źródło i licencja