正十六胞体（せいじゅうろくほうたい、）とは、四次元正多胞体の一つ。16個の正四面体からできている。四次元の正軸体である。単独で空間充填が可能である。
性質 要素の個数と接続関係 胞（3次元要素）：16個。全て正四面体。 面：32枚。全て正三角形。各面には正四面体2個が集まる。 辺：24本。各辺には正三角形4枚、正四面体4個が集まる。 頂点：8個。各頂点に辺6本、正三角形12枚、正四面体8個が集まる。 双対：正八胞体 シュレーフリ記号：{3,3,4}
の最上段を0段目と数えることにする。正十六胞体の胞、面、辺、頂点の数はそれぞれパスカルのピラミッドの4段目（Layer 4）の三角形の適当な行の数字の総和に等しい。反対側にある胞の中心同士を結ぶ線に沿って見た場合、胞、面、辺、頂点はそれぞれパスカルのピラミッドの4段目の適当な行に並ぶ数字通りのグループに分割される。
また、面、辺、頂点に集まる各次元の図形の数は、それぞれに対応する面図形、辺図形、頂点図形を用いて数えることができ、それぞれ線分の端点の数、正方形の頂点と辺の数、正八面体の頂点と辺と面の数に等しい。それぞれパスカルのピラミッドの1段目、2段目、3段目の適当な行の総和としても現れる。
頂点座標 8個の頂点の座標の取り方の例を挙げる。最も考えやすいのは次のように取ることだろう。 (±1, 0, 0, 0) (複号任意) の全ての置換 …… 8個 この場合、一辺の長さはになる。第4の座標を無視するように3次元へと平行投影すると、3次元の正八面体と同じ形になり、24本あるもとの辺のうち、12本は正八面体の辺へと投影され、残りの12本は正八面体の中心と頂点を結ぶ6本の線分へと二重に投影される。
また、次のように頂点を取ることもできる。 (±1, ±1, ±1, ±1) (複号同順) …… 2個 (1, 1, −1, −1) の全ての置換 …… 6個 （これら2行をまとめて、(±1, ±1, ±1, ±1) の複号のうち偶数個が正であるものと言い換えることもできる。） この場合、一辺の長さはになる。第4の座標を無視するように3次元へと平行投影すると、3次元の立方体と同じ形になり、24本あるもとの辺のうち、12本は立方体の辺へと投影され、残りの12本は立方体の面の対角線へと投影される。
脚注