オイラー予想

オイラー予想（オイラーよそう、Euler's sum of powers conjecture）とは、スイスの数学者レオンハルト・オイラーが提唱した、フェルマーの最終定理を発展させた数学的予想である。現在では、反例によってこの予想は偽である（正しくない）ことが証明されている。

予想の内容 オイラーはフェルマーの最終定理の n = 3 のとき、すなわち x3 + y3 = z3 を満たす自然数の解 (x, y, z) は存在しないことを証明した。 ここから、フェルマーの最終定理を拡張して、 x4 + y4 + z4 = w4 を満たす自然数の解 (x, y, z, w) は存在しない、と予想した。

同様に x5 + y5 + z5 + w5 = v5 x6 + y6 + z6 + w6 + v6 = u6 を満たす自然数の解も存在しない、とした。

すなわち、n > 3 とすると、n − 1 個の n 乗数の和を1個の n 乗数で表すことはできないということを示唆した。 これが、オイラー予想である。

歴史 オイラーの発表以降、比較的小さな自然数では反例を見つけることができず、長い間正しいと信じられてきた。

しかし1966年にレオン・J・ランダーとトーマス・R・パーキンによって n = 5 の場合の反例として解 (27, 84, 110, 133, 144) が発見され、275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 が成り立つことが確認された。これには当時世界最速のスーパーコンピュータであったCDC 6600が用いられた。

この発見から n = 4 の場合も反例がある可能性があるとして研究が続けられ、1986年にハーバード大学のノーム・エルキーズ(Noam Elkies)が、楕円曲線論とコンピュータを用いて発見した。その反例は 26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734 という複雑なものだった。この発見と同時に解は無限に存在することも確認され、約200年間未解決となっていたオイラー予想は、否定的に解決された。

また、2004年にはジム・フライによってn=5の場合の反例852825 + 289695 + 31835 + 555 = 853595が発見された。

例

箇条書きされている式は、n − 1 個の n 乗数の和を1個の n 乗数で表すオイラー予想の反例である。 そうではない式は、n 個の n 乗数の和を1個の n 乗数で表すオイラー予想に従う例である。

(R. Frye, 1988)

(R. Norrie, 1911) （R. Norrie によって最小の解であることが示されている。）

(Lander & Parkin, 1966)Matheorld: Diophantine Equation--5th PowersA Table of Fifth Powers equal to Sums of Five Fifth Powers

(Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967)

(Lander, Parkin, Selfridge, second smallest, 1967)

(Sastry, 1934, third smallest)

(M. Dodrill, 1999)Matheorld: Diophantine Equation--7th Powers

(S. Chase, 2000)Matheorld: Diophantine Equation--8th Powers

関連項目 ランダー・パーキン・セルフリッジ予想

参考文献