解析学におけるヘルダーの不等式（ヘルダーのふとうしき、）とは、数列や可測関数の間に成り立つ最も基本的な不等式の一つであり、測度空間上のL空間の構造の解析などにしばしば用いられる。オットー・ヘルダーに因んでこの名前が付いている。

歴史的には1888年にレオナルド・J・ロジャーズによって発見された。さらにその翌年に、ロジャースに触発されたヘルダーによって、イェンセンの不等式の紹介と凸関数と凹関数の発展に関する書籍内で別の証明がもたらされた。

積分形のヘルダーの不等式 (Ω, μ) を測度空間とし、 を なる実数とする。（ のとき とする。）Ω 上の可測関数 について、

が成り立つ。これは、左辺が無限大になる場合も込めて成立する不等式であり、特に が L級、 が L級関数のときに は 級関数になることを主張している。このような と の関係は共役指数と呼ばれる。 の場合のこの不等式はコーシー・シュワルツの不等式と呼ばれる。

この形でのヘルダーの不等式は積に対するヤングの不等式から以下のようにして導くことができる： をノルム 1 のそれぞれL関数、L関数とし、 と を互いに共役な指数とする。ヤングの不等式によって

が成り立っており、 に関する積分によって

が得られる。一般の関数に対するヘルダーの不等式は、2つの関数を定数倍する操作に対して両辺の項が同じ応答を示すことから、上の場合に帰着できる。

ヘルダーの不等式の特別な形 測度空間 が可算集合とその上の数え上げ測度によって与えられるとき、 上の可測関数とは の元によって添字づけられた数列のことになり、Lノルムは 数列の lノルムのことになる。 を共役指数の対、 とするとヘルダーの不等式は

の形に表される。また のときは、逆向きの不等式が成り立つ。

また、 とすれば、

を得ることができる。例えば のときは、正の実数 に対して

となる。またこれらは のときには同様に逆向きの不等式が成り立つ。 のとき、

が成り立つ。ただし、各 は正とする。

確率空間 上の期待値を与える作用素を E とすると、確率変数 についてのヘルダーの不等式は

となる。この特別な場合として、 なる数について

が成り立つ。これは と確率変数 と について上の式を適用することによって得られる。

一般化 で とし、 に対して が に属しているとする。このとき までの積は に属し、

が成り立つ。

例 に対して、一般化されたヘルダーの不等式を適用することにより次を得る。

で、 が かつ に属しているとすると、任意の に対して は に属し、 なる に対して

が成り立つ。

抽象的なバナッハ空間や関数空間におけるヘルダーの不等式 通常の 空間におけるヘルダーの不等式は、より抽象化されたバナッハ空間や関数空間においても適当なノルムや汎関数のもとで成立する。

連続双対空間（バナッハ空間） バナッハ空間 とその双対空間 に対し、双対性の全射的ペアリングを （ または ）と表す。任意の および について、次が成り立つ：

これは抽象的バナッハ空間におけるヘルダーの不等式（あるいは双対ノルムの定義そのもの）と見なすことができる。 （）の場合、その双対空間は （）であり、積の積分 に対する通常のヘルダーの不等式に一致する。

オルリッチ空間 オルリッチ空間 は、 空間を凸関数（N-関数） を用いて一般化した空間である。 のルジャンドル・ヤング双対関数を とするとき、任意の および について次のヘルダー型の不等式が成り立つ：

ここで はノルムの定義（ルクセンブルク・ノルムかオーリッチ・ノルムか）に応じた定数であり、ルクセンブルク・ノルムを用いた場合は となる。

モジュラー関数空間 モジュラー関数空間は、ノルムの代わりに「凸モジュラー」と呼ばれる汎関数 を用いて位相構造を導入した幾何学的空間である。モジュラー とその共役モジュラー に対し、ルクセンブルクノルムに関して以下の不等式が一般に定式化される：

変動指数ルベーグ空間 変動指数ルベーグ空間 は、可積分指数が場所ごとに変化する可測関数 であるルベーグ空間である。共役指数関数 を により定めるとき、任意の および に対して次のヘルダー型の不等式が成立する：

ここで （ただし 、）であり、特に である。

バナッハ関数空間 バナッハ関数空間は、ルベーグ空間やオルリッチ空間、ローレンツ空間等を包括する公理化された可測関数のノルム空間である。可測関数の空間 に対し、そのアソシエイトノルム（Associate norm）をもつ空間を と定義するとき、任意の および に対し、次のヘルダーの不等式が抽象的公理として、あるいはその系として成立する：

但し、アソシエイトノルムで定める。

関連項目 不等式 コーシー＝シュワルツの不等式 ミンコフスキーの不等式 ヤングの不等式 Lp空間 オルリッチ空間 変動指数ルベーグ空間

脚注

参考文献

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外部リンク