ランデン変換 (Landen's transformation) は、数学において楕円積分や楕円関数の母数を増減させる恒等式。楕円関数の数値計算に有用である。
楕円積分のランデン変換とガウス変換 第一種楕円積分
につき、次の恒等式をランデン変換という。
同じく、次の恒等式をガウス変換という。
ランデン変換の導出 ランデン変換は
の置換により導かれる。
を陽にすると である。
ガウス変換の導出 ガウス変換は
の置換により導かれる。
を陽にすると である。
楕円関数のランデン変換 次の恒等式を楕円関数の上昇ランデン変換という。
次の恒等式を楕円関数の下降ランデン変換という。
当初の母数がであれば、上昇ランデン変換は母数を増加させ、下降ランデン変換は母数を減少させる。上昇ランデン変換を繰り返すことにより、母数が1に収束し、楕円関数は双曲線関数に近似される。下降ランデン変換を繰り返すことにより、母数が0に収束し、楕円関数は三角関数に近似される。この性質により、ランデン変換は楕円関数の数値計算に有用である。
導出 楕円積分のランデン変換により
のときに
であるから
である。楕円積分のガウス変換により
のときに
であるから
であるが、をに改め、をに改めれば となる。
虚数変換 上昇ランデン変換と下降ランデン変換は虚数変換により交替する。
上昇ランデン変換により
虚数変換により
をと書き、をと書けば
となるが、これは下降ランデン変換である。
出典 Wolfram MathWorld: Landen's Transformation Wolfram MathWorld: Gauss's Transformation Abramowitz and Stegun p.573