直交行列

直交行列（ちょっこうぎょうれつ, ）とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまり × の行列の転置行列をと表すときに、を満たすようなのこと。ただし、は次の単位行列であり、自身も直交行列である。

有限次元実計量ベクトル空間の直交変換は、ある正規直交基底に関して実直交行列（成分が全て実数の直交行列）によって定まる線形変換である。ただし、直交変換とは（必ずしも有限次元でない）実計量ベクトル空間において内積を変えない（等長性をもつ）線形変換のことである。すなわち、をの任意のベクトルとするときに、が成り立つ。ただし、は内積を表す。

定義次正方行列の転置行列がの逆行列になっているとき、すなわちを満たすとき、は直交行列であるという。

直交行列は内積を保つ線型変換としても定義できる。実計量ベクトル空間の任意のベクトルに対し、内積をとする。が行列によりに変換されたとき、内積は

となるので、行列が直交行列であるのは計量ベクトル空間の内積を変えないとき、かつそのときに限る。

直交行列は正則行列であり、直交行列は積や逆について閉じている。次直交行列全体の集合を次直交群といい、() と書く。行列式の値が1となる直交行列全体の集合を特殊直交群といい、() と書く。

例回転行列 2次元ユークリッド空間において、原点を中心に角の回転をあらわす2次直交行列は以下で表される。

置換行列 2次の正方行列において、1行目と2行目を置換させる置換行列は以下で表される。

反射行列単位ベクトルに直交する超平面についての鏡映を与える反射行列（ハウスホルダー行列）は、以下の式で与えられ、直交行列となる（は単位行列）。

性質直交行列の行列式の値は ±1 である。実際、行列が直交行列なら行列式の性質から

となる。逆は必ずしも真ではない。ユニタリ行列である。従って対角化可能である。次行列を個の列ベクトル（行ベクトル）を並べたものとみなしたとき、直交行列の定義 = はが正規直交基底になる条件と同値である。次の直交行列、次の列ベクトルが与えられた時、ノルムを ‖•‖ で表せば、 ‖‖ = ‖‖ である。したがっての対応する作用素ノルムはである。

参考文献

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