直積 (ベクトル)

線型代数学における直積（ちょくせき、）あるいは外積（がいせき、）は典型的には二つのベクトルのテンソル積を言う。の外積をとった結果は行列になる。外積の名称は内積に対照するもので、内積はベクトルの対をスカラーにする。外積は、クロス積の意味で使われることもあるため、どちらの意味で使われているか注意が必要である。

ベクトル同士の外積は行列のクロネッカー積の特別な場合である。

「テンソルの外積」を「テンソル積」の同義語として用いる文献もある。外積は R, APL, Mathematica などいくつかの計算機プログラム言語では高階函数でもある。

定義行列表現

ふたつのベクトルの外積は、を列ベクトル、を列ベクトル（従っては行ベクトル）としたときの行列の積に等価であるLinear Algebra (4th Edition), S. Lipcshutz, M. Lipson, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-154352-1。成分を用いて

と書けば、外積は行列で各成分はの各成分との各成分の積であたえられEncyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3、

と表される。

複素ベクトルの場合には、これを少し変えて、の転置の代わりに共軛転置を用い、

とする。つまり得られる行列はの各成分との各成分の複素共軛との積を成分とするものになる。

内積との対比のときは別な仕方で行列の積を施してスカラー（行列）が得られる。つまり、数ベクトル空間の標準内積（点乗積）である。内積は外積のトレースに等しい。行列としての階数がともに非零ならば、外積の行列としての階数は常にである。このことを見るにはベクトルに掛けてとすればよい。これはベクトルのスカラー -倍に他ならない。（"行列の階数" をテンソルの階数 ("order" / "degree") と混同してはならない）。

テンソルの外積テンソルに対する外積はふつうテンソル積と呼ばれる。テンソルは階数で各次元 , は階数で各次元がとすれば、これらの外積は階数で各次元は先にの次元を並べた後にの次元を並べたものになる。これをを用いた座標に依存しない表記で書き、その成分を添字表記で書けば

となるMathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3。高階テンソルの場合も同様で、例えば

などと書ける。

例えばが三階で各次元が , が二階で各次元がならば、それらの外積は五階で各次元はとなる。また例えばの成分およびの成分に対応する外積の成分としてが決まる。

外積の行列としての定義をテンソル積の言葉で理解するには:

抽象的な定義ベクトル空間とはの双対空間とする。ベクトルおよびに対してテンソル積は

で与えられる写像に対応する。ここでは線型汎函数（これはの双対空間の元）をベクトルにおいて評価した値である。これはスカラーであり、これを最終的にの元であるに掛けたものがテンソル積の値である。

ベクトル空間が有限次元ならば、からへの線型変換全体の成す空間は外積で生成される。実は行列の階数は、外積を和として表すために必要な項の最小数（行列のテンソル階数）に一致する。今の場合、はに線型同型である。

双対性内積との対比のとき、余ベクトルとベクトルとを写像を通して対にすることができる。これはとその双対空間との間に定まる双対性を表す内積である。

応用外積は物理量（例えば慣性テンソルなど）の計算や、デジタル信号処理やデジタル画像処理における変形操作を行うのに有用である。また統計的解析においても、二つの確率変数の共分散および自己共分散行列の計算に有用である。

直積 (ベクトル)

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