特殊ユニタリ群

次の特殊ユニタリ群（とくしゅユニタリぐん、） とは、行列式が1の 次ユニタリ行列の為す群の事である。群の演算は行列の積で与えられる。

特殊ユニタリ群 はユニタリ群 の閉部分位相群であり、さらに一般線型群 の部分群である。

特殊ユニタリ群は素粒子物理学において、電弱相互作用のワインバーグ＝サラム理論や強い相互作用の量子色力学、あるいはそれらを統合した標準模型や大統一理論などに出てくる。

定義

ここで はユニタリ群、 は行列式である。

性質 特殊ユニタリ群 は、以下のような性質を満たす。 次元 の単純リー群 コンパクトで単連結 ランク の中心は巡回群 と同型 外部自己同型群は に対しては 、 に対しては自明な群

生成子 の生成子 （リー群）は、トレースが 0 のエルミート行列で表現される。

基本表現 基本表現、あるいは定義表現では、 次正方行列で表現される。

ここで、 は構造定数で、全ての添え字に関して反対称であり、 は全ての添え字に関して対称である。

従って、

規格化条件として

をとる。

随伴表現 随伴表現では、 次正方行列で表現され、その成分は、

で与えられる。

例

の元の一般形は

となる。ここで、 は を満たす。

の生成子 の基本表現は

ここで、 はゲルマン行列である。

交換関係は

となり、構造定数 は

となる。 は

となる。

他の群との関係 リー群論、特に素粒子物理学では、対称性の破れに関連して部分群が重要になる。

: 直交群、: 特殊直交群、: シンプレクティック群、: 例外型リー群

また、スピン群と以下の同型がある

関連項目 リー群

外部リンク