数学の線型代数学において、体 上の有限次元線形空間上の線形変換 の最小多項式（さいしょうたこうしき、）とは、 が零点（ で零行列）となる -係数多項式のうち、モニック多項式（最高次係数が ）で次数が最小のもののことである。特に正方行列 に対して定義される。
の最小多項式を とすると、 となる -係数多項式 は、最小多項式 で割り切れる。
次の3つの主張は同値である： は、 の最小多項式 の根である。 は、 の固有多項式の根である。 は、 の固有値である。 の最小多項式 における根 の重複度は、 に対応する のジョルダン細胞の最大次数を表す。
一般に、最小多項式は固有多項式と一致するとは限らない。例えば、 を考える（ は 次単位行列）。この行列の固有多項式は である。一方、最小多項式は である。従って、 ならば、 の最小多項式と固有多項式は一致しない。
ケイリー・ハミルトンの定理と上の注意により、最小多項式は常に固有多項式を割り切ることが従う。
定義 体 上の有限次元ベクトル空間 上の線型変換 に対し、
とおく。ここで は、 上の一変数多項式環を表す。 は、 の真のイデアルとなる。 は体だから は主イデアル整域であり、任意のイデアルは F の単元倍を除いて一意的な1つの多項式によって生成される。したがって特に の生成元としてモニック多項式をとることができ、これを の最小多項式と言う。最小多項式は、 中のモニック多項式の中で次数が最小のものである。
応用 体 上の線形空間での線型変換 が対角化可能であることと、すべてのジョルダン細胞の次数が であることは同値である。従って、線型変換 が対角化可能であるための必要十分条件は、 の最小多項式が 上で一次式の積に分解し、すべての根の重複度が であることである。
計算法の一例 体 F 上のベクトル空間 V とその線型変換 T および V の元 v に対して、
と定義する。これは、F[t] の自明でないイデアルとなる。 を、このイデアルを生成するモニック多項式とする。
この多項式は次の性質を満たす。 は を含む。 を、 が線型独立となるような最大の自然数とする。このとき、 ある が存在して、
が成り立ち、さらに
となる。 V の1つの基底 を取ったとき、T の最小多項式は、すべての たちの公約元である。
関連項目 線型代数学 跡 (線型代数学) 行列式 固有値 固有多項式 ジョルダン標準形
参考文献