線型代数学における行列の階数（かいすう、; ランク）は、行列に同伴する線型方程式系および線型変換がどのくらい「非退化」であるかを示す数を指し、行列の特徴を表す最も基本的な数の一つ。行列の階数には幾つもの同値な定義がある。
例えば、行列 の階数 （あるいは または丸括弧を落として ）は、 の列空間（列ベクトルの張るベクトル空間）の次元Bourbaki, Algebra, ch. II, §10.12, p. 359に等しく、また の行空間の次元とも等しい。行列の階数は、対応する線型写像の階数である。
行列の階数の概念はジェームス・ジョセフ・シルベスターが考えた。
定義 任意の行列 について、以下はいずれも同値である。 の列ベクトルの線型独立なものの最大個数（ の列空間の次元） の行ベクトルの線型独立なものの最大個数（ の行空間の次元） に基本変形を施して階段行列 を得たとする。このときの の零ベクトルでない行（または列）の個数（階段の段数とも表現される） 表現行列 の線型写像の像空間の次元。詳しくは#線型写像の階数を参照。 の 0 でないような小行列式の最大サイズ の特異値の数
文献により、上記の条件のいずれかを以って行列 の階数は定義される。
注意 いま の列空間の次元を「列階数」、行空間の次元を「行階数」と呼べば、線型代数学における基本的な結果の一つとして、列階数と行階数は常に一致するという事実が成立するから、それらを単に の階数と呼ぶことができる。これについて、 はベクトルの線型結合の基本性質に基づく四文証明を与えた（これは任意の体上で有効である）。また、 は実数体上の行列に対して有効な、直交性を用いたエレガントな別証明を与えている。両証明とも教科書 に出ている。
性質 を 行列とする。また、 を表現行列 の線型写像とする。 一般の体上 行列の階数は非負整数で、 の何れも超えない。すなわち が成り立つ。特に のとき、 は最大階数（full rank; フルランク; 充足階数、完全階数）を持つとかフルランク行列などといい、さもなくば は (rank deficient; 階数不足) であるという。 が零行列のときかつその時に限り . が単射となるための必要十分条件は、（これを は列充足階数を持つという）となることである。 が全射となるための必要十分条件は、 となる（ が行充足階数を持つ）ことである。 が正方行列（つまり ）のとき、 が正則であるための必要十分条件は、（ が充足階数）となることである。 を任意の 行列として が成り立つ。 が行充足階数 行列ならば が成り立つ。 が列充足階数 行列ならば が成り立つ。
となるための必要十分条件は、 正則行列 と 正則行列 が存在して が成立することである。ただし は 単位行列である。右辺の行列は一意的に定まり の階数標準形と呼ばれる。 （ は転置行列） 階数・退化次数の定理が成立
シルベスターの階数不等式 行列 と 行列 に対し が成り立つ。 フロベニウスの不等式 行列の積 がいずれも定義されるとき、 が成り立つ。 劣加法性 は同じ型の行列として が成り立つ。この帰結として、 の行列は の行列 個の和に書くことができ、また 個より少ない-行列の和には書けない。
特定の体上 が実数体上の行列であるとき、 の階数は対応するグラム行列の階数に等しい。すなわち、実行列 に対し が成り立つ。これは各々の核空間が等しいことを見れば示される。グラム行列の核は となるベクトル からなる。このときさらに も成り立つ。 が複素数体上の行列であるとき、 の複素共軛行列を , 共軛転置行列を と書けば、 が成り立つ。
階数の計算 例えば、行列
は、基本変形を行うことによって
と書けるから、 の階数は である。実際、[第 2 行] = [第 1 行] + [第 3 行] であるから、2 行目の行ベクトルは線型独立でない。ここで、1 行目と 3行目は明らかに線型独立であるから、 である。
浮動小数点を用いたコンピューター上の数値計算においては、この基本変形を用いたりLU分解を用いることで階数を求める方法は、精度が落ちることもあり用いられない。替わりに、特異値分解（SVD）やQR分解を用いて求められる。
線型写像の階数 をベクトル空間とし、線型写像 が与えられたとき、 の像 の次元を線型写像 の階数と呼び、 や などで表す。 や は一般に無限次元であっても、像の次元 が有限であれば線型写像の階数の概念は意味を持つ。とくに階数有限なる線型写像にはトレースが定義できて、古典群の表現論などで重要な役割を果たす。
や が有限次元ならば、行列表現によって は表現行列 の共軛類が対応する。このとき、線型写像の階数と行列の階数との間には という関係が成り立つが、行列の階数が正則行列を掛けることに関して不変であることから、この等式の成立は表現行列 のとり方に依らない。
ベクトル空間 に対して が 次元とすれば、線型写像 の階数は 以下である。実際に、 となるとき、線型写像 は非退化（ひたいか、）であるという。そうでないときには、像 は で へ写される元の分だけ「つぶれている」と考えられ、線型写像 の核
の次元 を の退化次数と呼ぶ。 の退化次数を や などで表すことがある。次の公式
が成立し、階数と退化次数の関係式あるいは簡単に階数・退化次数公式などと呼ばれる。
脚注
注釈
出典
外部リンク