一般化アペル多項式

数学において、ある多項式列に一般化アペル表現（いっぱんかアペルひょうげん、）が存在するとは、その多項式の母関数が次の形式を取ることを言う：

ただし母関数あるいは核と呼ばれるは、次の級数によって構成される：

with

および

and all

および

with

上述のように、が次数の多項式であることを示すことは難しくない。

より一般的なクラスの多項式として、ボアズ＝バック多項式が挙げられる。

特別な場合とすると、ブレンケ多項式のクラスに属する多項式が得られる。とすると、ニュートン多項式のような一般差分多項式を含む多項式のシェファー列が得られる。それらを合わせておよびとすることで、多項式のが得られる。

陽的表現

一般化アペル多項式には次の陽的表現が存在する。

この定数は

で与えられる。ただしこの和はを個に分割するすべての組合せに対して取られる。すなわち、その和は次を満たすすべてのに対して取られる。

アペル多項式に対し、これは次の公式となる。

漸化式

核がに対しと書くことが出来るための必要十分条件は

が成り立つことである。ただしおよびにはべき級数表現

および

が存在する。今

を代入することで、次の漸化式が直ちに得られる。

ブレンケ多項式の特別な場合として、が得られ、したがってが成り立つことから、漸化式は著しく簡易化される。

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