抽象代数学における積閉集合（せきへいしゅうごう、）あるいは乗法的集合（じょうほうてきしゅうごう、）は、（有限）積に関して閉じている集合を言うEisenbud, p. 59.。
積閉集合は特に可換環論において重要である。そこでは積閉集合が環の局所化の構成に用いられる。
定義 単位的環 の部分集合 が積閉あるいは乗法的であるとは、以下の二つの条件 ,
を満たすときに言うAtiyah and Macdonald, p. 36.Lang, p. 107.。別な言葉で言えば、積閉集合 は環 の乗法モノイドのである。空積は に等しいものと約束すれば、上記の二条件は「 は有限積をとる操作について閉じている」ことと等価である。
同様に、環 の部分集合 が飽和 (saturated) であるとは、それが「をとる操作に関して閉じている」() ときに言う。
例 よくある積閉集合の例として以下のようなものが挙げられる: 可換環の素イデアルの補集合。 環の元 を固定するとき、集合 。 環の単元全体の成す集合。 環の非零因子全体の成す集合。 イデアル に対する 。
性質 可換環 のイデアル が素イデアルであるための必要十分条件は、補集合 が積閉であることである。 部分集合 が積閉かつ飽和となる必要十分条件は、それが素イデアルの合併の補集合となることであるKaplansky, p. 2, Theorem 2.。特に素イデアルの補集合は積閉かつ飽和である。 積閉集合からなる族の交わりはまた積閉である。 飽和集合からなる族の交わりはまた飽和である。
関連項目 環の局所化
注
参考文献 M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, 1969. David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer, 1995.
Serge Lang, Algebra 3rd ed., Springer, 2002.