ベズーの等式

ベズーの等式（ベズーのとうしき、）は初等整数論における定理である。ベズーの補題（ベズーのほだい、）とも呼ばれる。とは (, ) のベズー係数 (Bézout coefficients) と呼ばれる。それらは一意的ではない。ベズー係数の組は拡張ユークリッドの互除法によって計算できる。とがどちらもでなければ、拡張ユークリッドの互除法からかつであるような 2 つの組の一方が出る。

ベズーの補題は任意の主イデアル整域において正しいが、正しくないような整域が存在する。

解の構造

（例えば拡張されたユークリッドの互除法を使って）ベズー係数の一組 (, ) が計算されたとき、すべての組は

の形で表せる、ただしは任意の整数であり分数は整数になる。

ベズー係数のこれらの組の中で、ちょうど2つが

を満たす。また、との一方が他方の約数であるときのみ等号が成立しうる。

これは除法の原理による。すなわち、2つの整数とが与えられると、がを割らなければ、ちょうど1つの組が存在して、かつとなり、別の1つの組が存在して、かつとなる。

拡張ユークリッドアルゴリズムはつねにこれらの2つの最小の組の1つをもたらす。

例

= 12、 = 42 とすると、gcd (12, 42) = 6 である。このとき次のベズーの等式が成り立つ。赤で書かれたベズー係数は最小の組であり青は他のものである。

証明ベズーの補題は性質を定義する除法の原理、すなわちでない整数による割り算はよりも真に小さい余りをもつことの結果である。以下の証明は任意のユークリッド整域に対して適用することができる。

与えられたでない整数とに対して、とを整数としてがとりうる整数の集合について、の任意の要素および整数に対してはに含まれる。実際、がと書ければ、である。符号をかえればも同様にいえることがわかる。

今に含まれる正の整数のうち最小の数をとする。すると、の要素はすべての倍数になっている。

というのは、もしの倍数で表せない数が存在すると仮定するとをで割った商を、でない余りをと置いてすなわちと書ける。仮定よりおよびから。は割り算の余りなので割る数より小さく、これはがに含まれる最小の正整数であるという仮定に反する。すなわちの要素はすべての倍数になっている。

の式でを代入すればとなるから、、同様に。ということは、はともにの倍数であり、はの公約数である。したがっての最大公約数以下であるから。……①

またはの倍数だから、と置いて、となり、の要素はの倍数である。特にもの倍数だから。……②

①②より、すなわち、（はの最大公約数）を満たすが存在する。以上の証明はによった。

一般化 3つ以上の整数に対して

ベズーの等式は2つよりも多い整数に対して拡張することができる：

とおくと、整数が存在して、

が成り立つ。また右辺の形の数式は以下の性質をもつ：はこの形の最小の正の整数であるこの形の数はすべての倍数である

多項式に対して

ベズーの等式は体上の一変数多項式に対して整数に対してとちょうど全く同じようにうまくいく。とくにベズー係数と最大公約数は拡張されたユークリッドの互除法によって計算できる。

2つの多項式の共通根はそれらの最大公約数の根であるから、ベズーの等式と代数学の基本定理は次の結果を意味する：体係数の一変数多項式とに対して、多項式とが存在して + = 1 であることと、とが任意の代数的閉体（通例は複素数体）において共通根をもたないことが同値である。

この結果の任意個の多項式と不定元に対する一般化はヒルベルトの零点定理である。

主イデアル整域に対して導入部で言及したように、ベズーの等式は整数環においてだけでなく任意の他の単項イデアル整域 (PID) においてもうまくいく。つまり、が PID でとがの元でがとの最大公約元であれば、の元とが存在して、 + = である。理由：イデアル + が単項であり確かにに等しい。

ベズーの等式が成り立つような整域はベズー整域と呼ばれる。

歴史

フランス人数学者エティエンヌ・ベズー（Étienne Bézout 1730年–1783年）がこの等式を多項式に対して証明した。しかしながら、整数に対するこのステートメントは別のフランス人数学者（Claude Gaspard Bachet de Méziriac 1581年–1638年）の仕事において既に見つかったものである。これらのページにおいてバシェは（方程式なしに）次を証明する。“Proposition XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre.”（互いに素な2つの数が与えられたとき、一方の倍数が他方の倍数より 1 大きいような最小の倍数を見つけよ。）この問題（すなわち）はベズーの方程式の特別なケースであり、バシェはそれを用いてページ199ffに現れる問題を解いた。次も参照。

ベズーの等式

Źródło i licencja