ファイバー (数学)

数学において、用語ファイバー (fiber, fibre) は文脈によって次の2つの意味を持つ：

素朴集合論において、写像 f: X → Y のもとでの集合 Y の元のファイバーとは、単元集合 {y} の f による逆像のことである。代数幾何学において、スキームの射のファイバーの概念は、一般に全ての点が閉とは限らないから、より注意深く定義されなければならない。

定義

素朴集合論におけるファイバーを写像とする。元のファイバーは、

と定義され、とも書かれる。

様々な応用においてこれはまた次のようにも呼ばれる：写像 f によるの逆像、写像 f によるの原像、点 y における関数 f の等位集合。

等位集合という用語は f が実数値でしたがって y が単に数であるときにのみ用いられる。f が R の領域上の連続関数で、y が f の像に入っていれば、f に対する y の等位集合は、2次元空間内の曲線や、3次元空間内の曲面、一般には d − 1 次元の超曲面である。

代数幾何学におけるファイバー代数幾何学において、f: X → Y がスキームの射であれば、Y の点 p のファイバーはファイバー積である、ただし k(p) は p における剰余体。

Terminological variance

用語「ファイバー」、「逆像」、「原像」、「等位集合」の推奨された使い方は以下のとおりである：

写像 f のもとでの元 y のファイバー写像 f のもとでの集合の逆像写像 f のもとでの集合の原像点 y における関数 f の等位集合。

用語の濫用によって、以下のように使われることがあるが、避けるべきである：元 y における写像 f のファイバー元 y における写像 f の逆像元 y における写像 f の原像写像 f のもとでの点 y の等位集合。

例 f を実関数とし、y を実数とする。 y > 0 であれば、y のファイバーは二元集合である。 y = 0 であれば、y のファイバーは単元集合である。 y < 0 であれば、y のファイバーは空集合である。

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