数学における狭義凸空間（きょうぎとつくうかん、）とは、単位球が狭義凸集合であるようなノルム線型位相空間 (, ‖*‖) のことをいう。言い換えると、狭義凸空間とは、 の単位球 の境界 ∂ における任意の二点 と に対して、それらを通るアフィン直線 (, ) が と でのみ境界 ∂ と交わるようなもののことをいう。狭義凸性は、その構造に関して、内積空間（すべての内積空間は狭義凸）と一般ノルム空間（すべての狭義凸空間はノルム空間）の間に位置するものである。これはまた、もし存在するなら、（狭義凸の） の部分空間 の外側から の元に対する最適な近似の一意性を保証するものである。
性質 ノルム空間(, ‖*‖) が狭義凸であるための必要十分条件は、(, ‖*‖) に対する凸度 が を満たすことである。
ノルム空間 (, ‖*‖) が狭義凸であるための必要十分条件は、 かつ であるなら が成立することである。
ノルム空間 (, ‖*‖) が狭義凸であるための必要十分条件は、 かつ であるなら がすべての に対して成立することである。
ノルム空間 (, ‖*‖) が狭義凸であるための必要十分条件は、 かつ であるなら = がある定数 > に対して成り立つことである。
凸度との関係 ノルム空間 の凸度（）とは、単位球の幾何学的な「丸み」を定量化する関数 であり、次のように定義される：
凸度の概念を用いると、狭義凸性と一様凸性は次のように明確に対比される：
狭義凸性の特徴付け: ノルム空間 が狭義凸であるための必要十分条件は、端点（距離 離れた対点 ）において凸度が最大値をとること、すなわち が成り立つことである。これは単位球の境界上に「対角線以外の平坦な線分が存在しない」ことを意味する。 一様凸性との比較: ノルム空間 が一様凸であるとは、任意の に対して が成り立つことをいう。したがって、一様凸な空間は必然的に を満たすため狭義凸空間であるが、狭義凸であっても で となる空間（すなわち一様凸でない空間）が存在する。 凸特性数: で定義される凸特性数（）を用いると、一様凸性は と表されるのに対し、狭義凸性は であることと同値である。
他の空間概念との関係と応用 一様凸性・滑らかさとの関係 一様凸空間との関係: すべての一様凸空間は狭義凸空間である。しかし、その逆は一般に成り立たない（有限次元空間においては狭義凸性と一様凸性は同値であるが、無限次元バナッハ空間では狭義凸であっても一様凸でない例が存在する）。 滑らかな空間（双対性）: バナッハ空間 の連続的双対空間 が滑らか（smooth）であることと、 が狭義凸であることの間には密接な相互関係が存在する。特に、 が回帰的バナッハ空間である場合、 が狭義凸であることと が滑らかであることは同値である。
近似理論における一意性 近似理論において、狭義凸空間は「最良近似の一意性」を保証する役割を果たす。 ノルム空間 の有限次元部分空間（あるいは閉凸部分集合） および に対し、 内の点 が の最良近似点であるとは、
を満たすことをいう。 が狭義凸空間であるならば、このような最良近似点 が存在する限り、それは唯一つに定まる。
例 狭義凸である空間 すべての内積空間（およびヒルベルト空間）は、中線定理より直ちに狭義凸である。 Lp 空間（）は一様凸であるため、狭義凸空間である。 可分なバナッハ空間は、同値なノルムに付け替える（再ノルム化する）ことで狭義凸空間にすることができる（アズマの定理）。
狭義凸でない空間 実数平面 上の -ノルム（タクシーキャブ距離） や -ノルム（チェビシェフ距離） を持たせた空間は狭義凸でない。これらの単位球の境界は平坦な線分を含んでいる。 連続関数の成す空間 （上限ノルム）や 空間、 空間は狭義凸ではない。
関連項目 一様凸空間 一様非正方形空間 一様に滑らかな空間 凸度と凸特性数 バナッハ空間 近似理論
参考文献