n n! 0 1 1 1 2 2 3 6 4 24 5 120 6 720 7 8 9 10 15 20 25 50 70 100 170 171 450 10 10 10 Fakultet eller n-fakultet er i matematikk ein funksjon som bereknar produktet av dei naturlege tala frå 1 til n. Funksjonen er skriven som symbolet n!, som blir lese som n-fakultet.
Døme:
Definisjon Formelt kan ein definere n-fakultet som
eller rekursivt ved
.
Begge definisjonane inkluderer spesialtillfellet
Funksjonsverdiane definerer ei uendeleg talfølgje som byrjar med 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800 ...
Bruk Fakultet opptrer naturleg i mange problem i kombinatorikk: Mengda måtar ein kan ordne n objekt i rekkefølgje er lik n!. Mengda måtar ein kan velje ut k objekt frå ei samling på n objekt er gjeven ved binomialkoeffisienten, definert ved
Bruken av fakultet forenklar òg notasjonen i arbeid med følgjer og rekker. Den matematiske konstanten e kan til dømes definerast som
Vekstrate 300px|mini|Plott av den naturlege logaritmen til n! Når n aukar vil n-fakultet vokse fortare enn eit vilkårleg polynom p(n) samt fortare enn eksponensialfunksjonen med argument n. Ein asymptotisk tilnærming av n! er gjeven ved Stirlings formel,
Frå Stirlings formel kan ein òg utleie ei enkel tilnærming for den naturlege logaritmen til n! ,
Frå dette kan ein sjå at log n! er av orden n log n, eit resultat som er viktig for analyse av sorteringsalgoritmer.
Gammafunksjonen mini|Gammafunksjonen
Gammafunksjonen er ei generalisering av fakultet, der definisjonsområdet er utvida frå dei naturlege tala til å omfatte alle relle tal. Funksjonen er definert ved
For heile, positive tal og null gjeld det at
Historie Notasjonen n! vart innført av den franske matematikeren Christian Kramp i 1808, i verket Éléments d'arithmétique universelle.
Kjelder Denne artikkelen bygger på «Fakultet (matematikk)» frå , den 11. september 2011.
Bakgrunnsstoff factorielle.free.fr
Kategori:Heiltalsfølgjer Kategori:Kombinatorikk Kategori:Talteori Kategori:Funksjonar