thumb|Bilde av det hyperbolske planet dekket med like store trekanter vist på en disk i modellen til Poincaré. På grunn av den variable metrikken ser trekantene ut til å bli jevnt mindre ut mot kanten.
Hyperbolsk geometri er en generalisering av euklidsk geometri hvor parallellpostulatet ikke er gyldig. Den er derfor en ikke-euklidsk geometri som beskriver plan eller rom som har konstant, negativ krumning. Den ble etablert av Janos Bolyai og Nikolaj Lobatsjevskij på midten av 1800-tallet og blir derfor også omtalt som Bolyai-Lobatsjevskij-geometri. Mange av deres oppdagelser var også kjent av Gauss, men hans resultat ble først kjent etter hans død. Han kalte denne nye geometrien for ikke-euklidsk geometri. Navnet hyperbolsk geometri ble innført flere tiår senere av Felix Klein da han kunne vise hvordan den kunne utledes mer generelt fra projektiv geometri.
I euklidsk geometri sier parallellpostulatet at man gjennom et punkt utenfor en linje alltid kan trekke en parallell linje. Den vil aldri skjære den gitte linjen. Men når man oppgir dette postulatet, er det ikke lenger opplagt hva som skjer med to linjer som forlenges i det uendelige. De kan skjære hverandre eller ikke. Det er nærliggende å si at i det siste tilfellet er linjene parallelle. Men Bolyai og Lobatsjevskij viste at en mer presis definisjon av parallellitet er gitt som grensen mellom de linjer som skjærer og de som ikke skjærer den gitte linjen. Gjennom et punkt utenfor en linje i hyperbolsk geometri finnes det derfor uendelig mange linjer som ikke skjærer den gitte linjen, men bare to ekte paralleller. Disse omtales også som grenseparalleller eller «horoparalleller» etter det greske ordet όριο for grense som også finnes i horisont.
Men summen av vinklene i en trekant i euklidsk geometri er 180° eller π radianer, vil denne summen i hyperbolsk geometri alltid være mindre enn dette. Kalles vinklene for α, β og γ, kan arealet til en hyperbolsk trekant skrives som
hvor k er en konstant med dimensjon lengde. Selv om det hyperbolske planet er uendelig stort, må alle trekanter ha areal mindre enn π k2. Denne formelen tilsvarer arealet
for en sfærisk trekant hvor summen av vinklene i trekanten alltid er større enn π. Disse to formelene går over i hverandre ved å la k → iR hvor i er den imaginære enheten. Denne matematiske sammenhengen mellom hyperbolsk og sfærisk geometri viser seg å være av dyp betydning.
Hyperbolske geometrier ble av stor betydning for utviklingen av moderne matematikk. Også innen teoretisk fysikk og kosmologi har disse nye geometriene funnet mange anvendelser.
Historie
De første egenskapene til hyperbolsk geometri ble etablert av Saccheri i første halvdel av 1700-tallet. Han utledet dem på en streng, logisk måte ved å anta at parallellaksiomet ikke var korrekt. Et av hans viktigste resultat var at vinkelsummen i en trekant alltid er mindre enn π. Men han håpet på å komme frem til en selvmotsigelse og derved ha bevist riktigheten av dette aksiomet. Det lyktes han ikke helt, men likevel var han overbevist om euklidsk geometri var den eneste mulige.
Noen tiår senere videreførte Lambert dette arbeidet og viste at arealet til en polygon med n sider i denne mer generelle geometrien vil ha et areal som er proporsjonalt med differensen mellom 2n - 4 rette vinkler og summen av de indre vinklene i mangekanten. Da dette er det samme resulatet som for en slik mangekant i sfærisk geometri, spekulerte han om hyperbolsk geometri kunne forbindes med denne, men da på en kuleflate med imaginær radius.
På begynnelsen av 1800-tallet tok Taurinus opp dette forslaget og utledet flere matematiske resultat for hyperbolsk geometri fra kjente formler i sfærisk trigonometri. M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Volume 3, Oxford University Press, Oxford (1972). ISBN 978-0-19-506137-6. For eksempel, for en trekant med hjørnevinkler A, B og C med motsatt sider a, b og c på en kuleflate med radius R, gjelder sinussetningen
Ved nå å la R → ik vil sinusfunksjonene som inneholder sidelengdene, gå over til hyperbolske sinusfunksjoner. På den måten kom han frem til
som litt senere med arbeidene til Bolayai og Lobatsjevskij viste seg å være riktig. I de første årene omtalte også Lobatsjevskij sin nye geometri som imaginær geometri, noe som også kan ha med å gjøre at det på den tiden var usikkert om den eksisterte andre steder enn i hans eget hode. R. Bonola, Non-Euclidean Geometry: A Critical and Historical Study of Its Development, Dover Publications, New York (1955). ISBN 0-486-60027-0.
Hyperbolsk geometri ble først virkelig kjent etter at Bernhard Riemann på midten av 1800-tallet utviklet riemannsk geometri som beskriver rom eller mangfoldigheter med en krumning som varierer fra sted til sted. I denne formuleringen gjelder da hyperbolsk geometri for det spesielle tilfellet at flaten eller rommet har konstant, negativ krumning på samme måte som elliptisk og sfærisk geometri har konstant, positiv krumning. Med disse nye metodene til disposisjon kunne Eugenio Beltrami lage modeller for hyperbolsk geometri basert på euklidsk geometri. Dette gjorde beregninger og visualiseringer enklere. Felix Klein viste hvordan denne nye geometrien kunne utledes fra projektiv geometri basert på tidligere betraktninger av Arthur Cayley. Sammen med de elegante formuleringene som ble funnet av Henri Poincaré, utgjør disse modellene i dag standardfremstillingen av hyperbolsk geometri.
Grunnlag
Hyperbolsk geometri er bygd på Euklids fire første postulat. De sier at gjennom to punkt går det alltid en linje som kan forlenges i begge retninger samt at man om hvert punkt kan lage en sirkel med gitt radius. Dermed kan man også i hvert punkt konstruere en rett vinkel som skal være den samme overalt. For to linjer som skjærer hverandre, er vinkelen mellom dem veldefinert og kan bestemmes.
Linjene i hyperbolsk geometri er ikke rette linjer som i euklidsk geometri, men heller geodetiske kurver som gir den korteste avstand mellom to punkt. Rent praktisk kan de finnes ved å strekke et målbånd mellom disse punktene. På denne måten kan også lengden av denne linjen bestemmes. Da disse linjene er glatte og kontinuerlige, vil en forvente at geometrien i en liten omegn rundt hvert punkt er tilnærmet euklidsk. I illustrasjoner fremstilles disse linjene ofte med litt krumning som en påminnelse om at de ligger i et ikke-euklidsk plan eller rom.
Paralleller thumb|280px|Horoparallellen gjennom punktet P er tegnet med rødt, mens parallelvinkelen Π er markert med grønt. Både Bolyai og Lobatsjevskij erstattet parallellaksiomet med antagelsen at gjennom et punkt utenfor en linje i et hyperbolsk plan går det minst en annen linje som ikke skjærer den gitte linjen. Finnes det kun en slik linje, vil geometrien være euklidsk. Hvis det er flere slike linjer, er planet hyperbolsk. Kalles punktet utenfor linjen l for P, vil det derfor finnes minst et annet punkt A utenfor linjen slik at forlengelsen av linjen PA gjennom P og A ikke skjærer den gitte linjen l. Hvis A flyttes litt nærmere den gitte linjen, kan man finne flere linjer som ikke skjærer l. Geometrien er da hyperbolsk og disse ikke-skjærende linjene sies å være ultraparallelle med den gitte linjen. J.N. Cederberg, A Course in Modern Geometries, Springer-Verlag, New York (2001). ISBN 0-387-98972-2.
Derimot, hvis man velger et punkt B på l, vil linjen PB gjennom P og B selvsagt skjære denne. Det vil den også fortsette å gjøre etter som punktet B beveger seg ut til en av sidene. I grensen hvor det bevegelige punktet B beveger seg uendelig langt bort, nærmer linjen PB seg en ikke-skjærende linje. Denne kritiske linjen kalles en «grenseparallell» eller horoparallell. Når det ikke kan oppstå misforståelser, forkortes dette vanligvis ganske enkelt til «parallell». I en hyperbolsk geometri vil derfor hver linje ha to slike paralleller, en til hver side. Disse to sammenfaller når geometrien blir euklidsk.
Endepunktet til en slik parallell ligger uendelig langt borte og kalles ofte for et ideelt punkt. Det kan betegnes med en stor, gresk bokstav som Ω. Man tenker seg da at ultraparallelle linjer går gjennom punkt enda lenger vekk, det vil si gjennom ultraideelle punkt. Disse kan lettere visualiseres i endelige modeller for det uendelig stor hyperbolske planet eller rommet. D.M.Y. Sommerville, The Elements of Non-Euclidean Geometry, Dover Publications, New York (1958).
Parallellvinkelen
Avstanden p mellom punktet P og den gitte linjen l er lengden av linjestykket OP hvor punktet O ligger på den gitte linjen slik at vinkelen POB er rett. Når punktet B har beveget seg uendelig langt vekk, vil grenseparallellen danne en viss vinkel Π med denne perpendikulæren. Denne «grensevinkelen» eller parallellvinkelen vil variere med avstanden p, slik at det finnes en sammenheng Π = Π(p). Denne funksjonen spiller en fundamental rolle i hyperbolsk geometri og notasjonen ble innført av Lobatsjevskij. S. Braver, Lobachevski Illuminated, The Mathematical Association of America (2011). ISBN 978-0-88385-573-7. Basert på resultatene til Saccheri vet man at dette er en avtagende funksjon med grenseverdiene og . Euklidsk geometri tilsvarer at parallellvinkelen har den konstante verdien π /2.
I grensen der B har beveget seg uendelig langt bort til det ideelle punktet Ω, blir trekanten POΩ «asymptotisk» med en vinkel OΩP i det ideelle punktet som er null. Summen av vinklene i denne asymptotiske trekanten er da Π + π /2. Den er mindre enn π som for alle hyperbolske trekanter.
Horosirkler thumb|280px|Tangenten t til horosirkelbuen PQ som er tegnet i rødt, står vinkelrett på diameteren PΩ. For hvert valg av avstanden p til punktet P vil det i samme retning finnes en bestemt horoparallell. De vil alle gå gjennom det samme ideelle punktet Ω som er bestemt av linjen l. Man kan nå tenke seg en sirkel med sentrum i dette punktet og med de tilsvarende horoparallellene som diametre. Dette kalles en horosirkel eller «grensesirkel». Det er en sirkel med sitt sentrum i et ideelt punkt uendelig langt borte. En vanlig sirkel i hyperbolsk geometri vil bestå av alle punkt med samme, endelige avstand til et gitt punkt som i euklidsk geometri.
Oppretter man vinkelrette linjer i halveringspunktene til to forskjellige korder på horosirkelen, vil disse være parallelle og gå gjennom samme, ideelle punkt. To punkt på en horosirkelbue PQ vil være adskilt med en buelengde som øker med lengden 2p av korden som forbinder dem. Når p har den spesielle verdien som tilsvarer parallellvinkelen , ser man av figuren at tangenten t i den ene enden av horosirkelbuen blir parallell med diameteren l gjennom kordens halveringspunkt O. Det skyldes at tangenten i et punkt alltid står vinkelrett på diameteren gjennom samme punkt.
Polare koordinater left|thumb|280px|Polare koordinater (r,θ) med akse l og origo O for punkt P på horosirkel. En vilkårlig linje l kan brukes til å definere polare koordinater i et hyperbolsk plan. Man velger et punkt O på linjen som origo. Et vilkårlig annet punkt P har da en avstand r til O . Dette er den radielle koordinaten til punktet. Forbindelseslinjen OP danner en vinkel θ med den gitte linjen l i O. Punktet P har derved fått koordinatene (r,θ). I dette koordinatsystemet er ligningen for en vanlig sirkel r = konstant.
Ligningen for en horosirkel kan finnes ved å la linjen l være en av dens parallelle diametre med origo O der denne skjærer horosirkelen. Et annet punkt P på horosirkelen er da gitt ved korden OP hvis lengde er den radielle koordinat r. Normalen på kordens midtpunkt har da en parallellvinkel Π(r/2) som er lik med den polare vinkelen θ. Alle punktene på horosirkelen er derfor gitt ved ligningen