Levi-Civita-symbolet er et matematisk objekt som ofte opptrer i sammenheng med determinanter og antisymmetriske tensorer. Det omtales også som permutasjonssymbolet og angir fortegnet til en permutasjon av de naturlige tallene 1,2,3, ..., N. For hver verdi av N finnes et slikt symbol. Navnet er forbundet med den italienske matematiker Tullio Levi-Civita som var en av grunnleggerne av tensoranalysen.

Definisjon

Levi-Civita-symbolet kan defineres som en tensor ε av rang n som er antisymmetrisk i alle sine indekser. Dets komponenter kan derfor skrives som εi1i2 ... in og oppfyller betingelsen

for hvert ombytte av to vilkårlige indekser.D.C. Kay, Tensor Calculus, Schaum’s Outlines, McGraw Hill, New York (1988). ISBN 0-07-033484-6. Hvis to eller flere av dem er like, har derfor symbolet verdien null. Antall komponenter som er forskjellig fra null, vil da være n!. De kan alle finnes fra

hvor p kalles «pariteten» til permutasjonen av indeksene og er dens fortegn. Den absolutte verdien av symbolet er dermed gitt ved som vanligvis velges å ha verdien +1. Med dette valget vil

når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer over alle par med like indekser.

Determinanter

En determinant er antisymmetrisk i ethvert ombytte av to rader eller to kolonner. Determinanten til en n × n matrise A med elementer Aij kan derfor skrives på en kompakt form ved bruk av Levi-Civita-symbolet.G.E. Hay, Vector and Tensor Analysis, Dover Publications, New York (1953). ISBN 0-486-60109-9. Da er den gitt som

eller kan finnes fra den ekvivalente formen

når man igjen summerer over alle par med like indekser.

Anvendelser

Betegnelsen «det n-dimensjonale Levi-Civita-symbolet» refererer til antall indekser som symbolet har. Den definerer samtidig dimensjonen til vektorromet eller mangfoldigheten hvor symbolet benyttes. Dets detaljerte egenskaper avhenger av denne dimensjonen.

To dimensjoner

Når antall dimensjoner er n = 2, har symbolet bare to komponenter og som er forskjellig fra null. Det kan derfor representeres ved matrisen

Komponentene oppfyller nå den viktige likheten

hvor Kronecker-symbolet δij opptrer på høyre side. Den får bare bidrag når and og må være antisymmetrisk i disse to indeksparene. Setter man m = i, blir dermed . Dermed er som forventet i dimensjoner.

Resultatet for produktet av to Levi-Civita-symbol kan skrives på den ekvivalente formen

På denne formen kan resultatet generaliseres til å gjelde for et vilkårlig antall indekser.

Levi-Civita-symbolet i to dimensjoner benyttes spesielt i forbindelse med Weyl-spinorer som har to komponenter. De spiller en fundamental rolle i moderne teorier med supersymmetri.P. Labelle, Supersymmetry demystified, McGraw-Hill, New York (2010). ISBN 978-0-07-163641-4. Tidligere ble slike spinorer benyttet til å beskrive masseløse nøytrinoer.

Tre dimensjoner thumb|210px|Verdien til Levi-Civita-symbolet i tre dimensjoner er angitt ved når indeksene opptrer som en positiv permutasjon av (1, 2, 3). Den motsatte verdien er angitt ved og opptrer for negative permutasjoner.

Med tre indekser har symbolet 3! = 6 komponenter som er forskjellig fra null. De kan alle finnes fra ε123 = 1. Ved ombytte av indekser finner man da ε213 = -1 og ε231 = 1. De tre like komponentene ε123 = ε231 = ε312 = 1 fremkommer ved syklisk ombytte av indeksene (1,2,3) i positiv retning, mens de tre odde komponentene ε132 = ε321 = ε213 = -1 finnes ved det tilsvarende ombytte i motsatt retning.

Levi-Civita-symbolet i tre dimensjoner kan brukes til å forenkle mange beregninger i vektoranalysen. Kryssproduktet av to vektorer og er antisymmetrisk og kan nå skrives på den kompakte formen

ved bruk av Einsteins summekonvensjon. Det skalare trippelproduktet mellom tre vektorer u, v and w blir dermed

Mer kompliserte vektorprodukt kan forenkles ved å bruke at

som følger fra det generelle produktet

For eksempel, det vektorielle trippelproduktet reduseres til

Resultatet er antisymmetrisk i vektorene v og w som det skal være.

På samme måte finner man for vektorproduktet av fire vektorer,

når man benytter at ei⋅el = δil  og summerer over alle like par med indekser. Tilsvarende forenklinger kan gjøres i vektoranalysen som involverer nabla-operatoren.

Fire dimensjoner I et firedimensjonalt, euklidsk rom har Levi-Civita-symbolet 4! = 24 komponenter som ikke er null. De kan alle bestemmes fra konvensjonen ε1234 = 1. Men i dette tilfellet er ikke verdien uforandret under syklisk ombytte. For eksempel blir ε4321 = - ε3214 = - ε2134 = ε1234 = 1, mens ε4123 = - ε1234 = - 1.

Symbolet benyttes også i relativistisk fysikk som finner sted i et firedimensjonalt Minkowski-rom med koordinater hvor c er lyshastigheten og en diagonal metrikk med komponentene og . Sammen med de kontravariante komponentene kan den benyttes til å heve og senke indekser. Hvis man i dette Minkowski-rommet nå definerer , vil dette Levi-Civitas-symbolet ha de kontravariante komponentene

som gir og på samme måte for alle andre komponenter med hevete indekser.

Herav kan man så utlede nyttige identiteter mellom produkter av symbolet. Av størst viktighet er

som ved kontraksjon mellom indeksene α og ρ gir

En videre kontraksjon mellom σ og β gir da som forventet

da i fire dimensjoner.

Dette Levi-Civita-symbolet opptrer også i relativistisk kvantemekanikk når man foretar beregninger som involverer Dirac-matrisene og

.

Når man regner ut trasen (eller «sporet») til et produkt av slike matriser, kan man da benytte at

Slike utregninger opptrer spesielt når partiklene som Dirac-ligningen beskriver, har retning på spinnet som er kjent eller skal måles.C. Itzykson and J.B. Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill International Book Company, New York (1980). ISBN 0-07-032071-3.

Levi-Civita-tensor

Determinanten til en N × N matrise A = (Aij) kan uttrykkes ved hjelp av Levi-Civita symbolet. Det betyr at man i alminnelighet har

Hvis man i et N-dimensjonalt euklidsk rom med kartesiske koordinater xm  innfører krumlinjete koordinater ved koordinattransformasjonen , er elementene til transformasjonsmatrisen A

Levi-Civita-symbolet i dette mer mer generelle koordinatsystemet vil da måtte oppfylle ligningen

Den viser at det transformerer som en fullstendig antisymmetrisk tensor av rang N under et slikt skifte av koordinater når man ser bort fra determinanten det(A) til transformasjonsmatrisen. Men den kan beregnes fra den nye metrikken

hvor metrikken i det kartesiske koordinatsystemet er gitt ved Kronecker-delta som . Herav følger derfor at determinanten er gitt som kvadratet av det(A). Definerer man derfor størrelsen

vil den transformere som en vanlig tensor. Dette er Levi-Civita-tensoren som er fullstendig antisymmetrisk i alle indeksene og med den spesielle verdien

i et generelt koordinatsystem hvor g er determinanten til metrikken for disse koordinatene.

Volumformen

Fra disse antisymmetriske tensorkomponentene kan man konstruere en differensiell N-form

som ofte blir omtalt som volumformenC.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman, San Francisco (1973). ISBN 0-7167-0344-0.. Det kan man se når man for eksempel benytter kulekoordinater i tre dimensjoner

Da blir denne 3-formen

og har størrelsen dV = r 2 sinθ dr dθ dφ  som er det vanlige volumelementet i dette koordinatsystemet.

Referanser

Kategori:Lineær algebra