thumb|240px|Eksempel på løsning av bølgeligningen i to dimensjoner med en sentral kilde. En bølgeligning er en differensialligning som beskriver hvordan en bølge beveger seg. I klassisk fysikk beskriver den utbredelsen av felt som for eksempel lyd eller lys. Den kan anta ulike former som for eksempel i hydrodynamikken ved beskrivelse av vannbølger, avhengig av ønsket nøyaktighet. I kvantemekanikken er Schrödinger-ligningen en bølgeligning for materiebølger som beskriver partikler. Forskjellige former opptrer også i relativistisk kvantemekanikk og innen kvantefeltteori. Da partikler her opptrer som kvanter, kan bølgeligningen i denne sammenhengen betraktes som en generalisering av Newtons ligninger i klassisk mekanikk.
Ved å løse bølgeligningen, finner man hvordan utslaget eller feltet F(t,x) beveger seg i tid t og rom, gitt vanligvis ved de kartesiske koordinatene . De fleste bølgeligningene er lineære som betyr at hvis man kjenner to løsninger, så er også summen av dem en løsning.
Den mest vanlige bølgeligning ble funnet av Jean le Rond d'Alembert på midten av 1700-tallet for en svingende streng. Omtrent samtidig ble dens egenskaper videre undersøkt av Daniel Bernoulli og Leonhard Euler som også generaliserte den til bølger som beveget seg i mer enn én dimensjon. Hvis c er bølgehastigheten, kan den skrives som
når man benytter Laplace-operatoren i det siste leddet. Da utslaget av en svingende streng er på tvers av bølgens bevegelsesretning, sies den tilsvarende bølgen å være «transvers». Men i en lydbølge er utslaget gitt ved trykkforandringer langs bølgeretningen. Den er derfor eksempel på en «longitudinal» bølge. Begge disse mekaniske bølgetypene beskriver skalarfelt som tar reelle verdier. Elektromagnetiske bølger består av transverse, reelle vektorfelt, mens gravitasjonsstråling er beskrevet ved et reelt tensorfelt. Derimot vil kvantemekaniske bølgeligninger vanligvis beskrive utbredelsen av komplekse kvantefelt.
D'Alemberts ligning thumb|400px|Kjede av like masser holdt sammen ved elastiske krefter. Bølgeligningen i en dimensjon kan lett utledes ved å betrakte en kjede med koblete, harmoniske oscillatorer. Hvis hver av dem har massen m og er elastisk koblet til sine to naboer på hver side med kraftkonstant k, så kan bevegelsesligningen for massen i posisjon x skrives som
hvor h er den opprinnelig avstanden mellom massene før svingningene begynner og u(t,x) er utslaget til massen som har likevektsposisjonen x. Da svingningene foregår langs kjeden, vil den resulterende bølgen være longitudinal.J.R. Lien og G. Løvhøiden, Generell fysikk for universiteter og høgskoler, Bind 1 Mekanikk, Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 978-82-150-0005-3.
I grensen h → 0 vil kjeden med diskrete masser gå over i en kontinuerlig streng. Hver av parentesene på høyre side av ligningen vil da kunne uttrykkes ved den deriverte u = ∂u/∂x,
Denne differansen mellom de førstederiverte i to nærliggende punkt vil på samme måte definere den deriverte av den førstederiverte, det vil si den andrederiverte av utslaget med hensyn på posisjonen når h → 0. I denne grensen går derfor den diskrete bevegelsesligningen over i den kontinuerlige bølgeligningen
For at bølgehastigheten skal få en bestemt verdi forskjellig fra null i denne grensen, må massen m og kraftkonstanten k justeres slik at kh2/m blir endelig. I så fall kan bølgehastigheten skrives som
hvor F = kh er en trykkraft i strengen og μ = m/h er dens lineære massetetthet. Dette resultatet er ganske analogt med bølgehastigheten for de transversale svingningene av en elastisk streng.H.D. Young and R. A. Freedman, University Physics, Addison Wesley, New York (2008). ISBN 978-0-321-50130-1.
Stående bølger
Den generelle løsningen av den endimensjonale bølgeligningen kan finnes fra mer fundamentale, harmoniske bølger. En slik bølge svinger med en bestemt vinkelfrekvens ω slik at den har formen
hvor fasevinkelen φ avhenger av tidspunktet bølgen begynner å bevege seg. Innsatt i bølgeligningen reduseres denne da til Helmholtz-ligningen
hvor k = ω/c er bølgetallet. Denne enklere ligningen er «svingeligningen» for en harmonisk oscillator med de to fundamentale løsningene sinkx og cos kx. Kombineres disse med tidsavhengigheten cosωt, finnes den generelle løsningen som en kombinasjon av bølger sin(kx - ωt) som går til høyre og sin(kx + ωt) som går til venstre. Man forutsetter da at strengen er uendelig lang slik at bølgene ikke møter noe endepunkt hvor de kan reflekteres eller absorberes.
thumb|300px|Utslaget i de fire første stående bølger på en streng. For en endelig streng med lengde L, må man angi hva som skjer i de to endepunktene som kan velges å være i og . Det er enklest er å anta at utslaget til bølgen er null i begge disse punktene. Den får da en romlig variasjon gitt ved funksjonen hvor bølgetallet må oppfylle kravet med n = 1, 2, 3, ... . For hver verdi av tallet n har man en egenmode som er den stående bølgen
hvor alle punktene svinger synkront «i fase» med vinkelfrekvensen ωn = ckn. Amplituden An bestemmer størrelsen på utslaget. Ved å bruke den trigonometriske identiteten som uttrykker sinus til en sum av to vinkler ved sinus og cosinus til hver av vinklene, kan man skrive
Den stående bølgen er derfor en sum av to motgående, plane bølger med samme frekvens og amplitude.A.P. French, Vibration and Waves, CRC Press, New York (1971). ISBN 0-7487-4447-9.
Fra disse fundamentale egenmodene kan den mest generelle løsning for stående bølger på strengen skrives som
hvor de er addert med fasevinkler φn som i alminnelighet ikke er de samme i hver partialbølge. Resultatet er en kontinuerlige utgave av det diskrete resultatet for en kjede med koblede oscillatorer.
Lydbølger Bølgeligningen for longitudinale svingninger av en streng beskriver lydbølger som beveger seg i en dimensjon. Ligningen for utbredelse av lyd i et tredimensjonalt medium kan utledes i kontinuumsmekanikk. Her betrakter man et medium som består av en gass som luft. Det er karakterisert av et tetthetsfelt ρ = ρ(t,x), et trykkfelt p = p(t,x) og hastighetsfeltet v = v(t,x). Bevegelsen er gitt ved Euler-ligningenB. Lautrup, Physics of Continuous Matter, Institute of Physics Publishing, Bristol (2005). ISBN 0-7503-0752-8.
når man ser bort fra tyngdekraften som her ikke spiller noen rolle. Det første leddet på venstre side er den lokale akselerasjonen, mens det andre leddet er den konvektive akselerasjonen. Massen til gassen forandrer seg ikke og uttrykkes ved kontinuitetsligningenM.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.
Når gassen er i ro, har den en konstant tetthet ρ0 og et konstant trykk ρ0. En liten bevegelse i gassen vil perturbere disse verdiene. Tettheten og trykket tar da litt andre verdier, henholdsvis og hvor fluktuasjonene Δρ(t,x) og Δp(t,x) antas å være mye mindre enn likevektsverdiene. Når det er tilfelle, kan også den konvektive akselerasjonen i Euler-ligningen neglisjeres. De to ligningene forenkles da til
hvor et konvektivt ledd v⋅∇(Δρ) igjen er blitt neglisjert i den siste ligningen. Tar man så den tidsderiverte av denne ligningen og divergensen av den første, kan vi eliminere hastighetsleddet og får en differensialligning som involverer kun de to fluktuasjonene. Disse ikke er uavhengige av hverandre, men forbundet ved tilstandsligningen for mediet. Dermed er
På denne måten kommer man frem til den tredimensjonale bølgeligningen
for tetthetsfluktuasjon. Samme ligning gjelder da selvsagt også for trykkfluktuasjonen. Begge forplanter seg i gassen med bølgehastigheten
Den partiellderiverte i kvadratroten kan uttrykkes ved mediets kompressibilitet og kan derfor beregnes når tilstandsligningen er kjent.
Lydhastighet
Newton var den første som beregnet lydens hastighet i luft ved å anta at fluktuasjonene foregår ved konstant temperatur. Det ga en verdi som var litt mindre enn den målte. Vel hundre år senere argumenterte Laplace for at Newtons antagelse ikke var riktig og at lyd brer seg ved at entropien er konstant. Dette viser seg å være riktig da det ved normale frekvenser ikke vil foregå noen varmetransport mellom forskjellige deler av væsken.
I uttrykket for lydhastigheten må derfor den partiellderiverte beregnes ved konstant entropi slik at man får
Uttrykt ved mediets kompresjonsmodul KS blir dette
som gjelder både for gasser og væsker. For eksempel, vann ved normale temperaturer har en målt kompresjonsmodul 2.08×109 Pa og tettheten 1g/cm3 som gir en lydhastighet
Luft under normale forhold kan med god nøyaktighet beskrives som en ideell gass. Den følger tilstandsligningen hvor R er gasskonstanten og M den molare massen til gassen. Da kompresjonsmodulen er KS = γp hvor γ er adiabateksponenten, blir lydhastigheten i gassen
For luft er den molare massen M = 28 g/mol og består av diatomiske molekyler. Denne gassen har derfor γ = 7/5 = 1.4. Innsatt i formelen for lydhastigheten ved romtemperatur finner man verdien som er i overensstemmelse med observasjoner.
Elastiske bølger
I motsetning til gasser og væsker er faste stoffer vanligvis elastiske materialer. En deformasjon av materialet kan beskrives ved et mekanisk felt u(t,x) som angir forskyvingen av et massepunkt som opprinnelig er i punktet x. Ved en generalisering av Hookes lov vil en slik deformasjon forårsake spenninger i materialet. Disse kan sammenfattes i en spenningstensor med den generelle formenL.D. Landau and E.M. Lifshitz, Theory of Elasticity, Pergamon Press, London (1959).
hvor λ og μ er de elastiske Lamé-konstantene for materialet og δij er Kronecker-symbolet. Mens den siste har med skjærspenninger å gjøre, er den første relatert til elastisitetsmodulen. Mer nøyaktig, hvis K er kompresjonsmodulen, så er λ = K - (2/3)μ. I uttrykket for spenningstensoren inngår deformasjonsstensoren
og som er vanlig ved tensorregning, gjøres det her bruk av Einsteins summekonvensjon.
Bevegelsesligningen for utslaget kan finnes på samme måte som for lydbølgene på en streng. Da spenningene virker på begge sider av hvert punkt, vil nettokraften på det være gitt ved den deriverte av spenningstensoren. Det gir differensialligningen
hvor ρ er massetettheten til materialet. Ligningen kan omskrives ved å innføre deformasjonsvektoren og tar da formen
Denne ligningen blir vanligvis omtalt som «Naviers bølgeligning» etter den franske fysiker Claude-Louis Navier som fant den rundt 1820.
Transverse og longitudinal komponenter
Da deformasjonsvektoren u kan i alminnelighet ha komponenter både langs og normalt til en gitt bølgevektor k, kan elastiske bølger være både transverse og longitudinale. Men disse to typene vil utbre seg med forskjellige bølgehastighter.D.L. Anderson, Theory of the Earth, Blackwell Scientific Publications, Boston (1989). ISBN 978-0-86-542335-0. Disse kan finnes ved å skrive et generelt utslag som
hvor det transverse utslaget er definert ved egenskapen ∇ ⋅ uT = 0, mens det longitudinale utslaget må oppfylle . De transverse bølgene oppfyller derfor ligningen
med bølgehastigheten
Uten skjærspenninger i materialet vil disse bølgene ikke eksistere. Det gjelder for væsker og gasser som bare kan gi opphav til longitudinale lydbølger.
thumb|360px|P-bølgen (rød) registreres før S-bølgen (grønn) på en seismograf. For longitudinale bølger kan man benytte identiteten
fra vektoranalysen. Naviers ligning forenkles da til
hvor nå den longitudinale bølgehastigheten er
Da begge Lamé-koeffisientene er positive, har denne komponentene alltid en større bølgehastighet enn den transverse komponenten. Den tilsvarer en vanlig lydbølge da den består av fluktuasjoner i trykket.