mini|Ars Conjectandi, utgave fra Basel (1713).
Bernoulli-tall er i matematikken spesielle, rasjonale tall som er av stor betydning i tallteori og teoretisk fysikk. De betegnes med Bn med . Tallene er negative når indeksen n er et liketall delelig med fire og positive hvis ikke. Når n er et oddetall, er de null bortsett fra De første femten Bernoulli-tall er:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 0 0 0 0 0 0
For store verdier av indeksen n vokser deres størrelse like raskt som fakultetsfunksjonen n !.
Den første opptreden av Bernoulli-tallene ble påvist av den sveitsiske matematiker Jakob Bernoulli i forbindelse med summasjon av potenser av naturlige tall. Dette ble publisert i samlingen av hans arbeid Ars Conjectandi innen sannsynlighetsregning som først kom på trykk i 1713 etter han var død. I ettertid ble det kjent at den japanske matematiker Seki Takakazu hadde uavhengig oppdaget tallene omtrent på samme tid.
Tallenes videre betydning ble i stor grad klarlagt av den sveitsiske matematiker Leonhard Euler i forbindelse med det som i dag omtales som Riemanns zetafunksjon og Euler-Maclaurins formel. Det var gjennom disse arbeidene at Euler også knyttet Bernoulli-navnet til tallene.
Det som sies å være verdens første datamaskinprogram ble skrevet av Ada Lovelace i 1843. Det skulle i prinsippet kunne beregne stadig større Bernoulli-tall på den planlagte, mekaniske regnemaskinen til Charles Babbage som aldri ble ferdig bygget.
Definisjon
Det er mange forskjellige måter å definere Bernoulli-tallene. En av de enkleste definisjonene og kanskje den med mest direkte, praktiske anvendelser ble først gitt av Euler.D.E. Smith, History of Mathematics, Volume II, Dover Publications, New York (1958). ISBN 0-486-20430-8. Han viste at hvis funksjonen
utvikles i en Taylor-rekke, opptrer Bernoulli-tallene når rekkeutviklingen skrives som
Direkte multiplikasjon med e t - 1 på begge sider gir dermed til laveste orden
For at høyresiden her skal ganske enkelt være lik med t for alle verdier av denne variable, må man for det første ha at . Videre må koeffisienten til t 2 være null slik at . Videre fremkommer på samme måte at og så videre. Bortsett fra B1 ser Bernoulli-tallene med odde indeks ut til å være null. At det er generelt riktig, følger fra å betrakte den spesielle kombinasjonen
Funksjonen på høyre side er en like funksjon av t. Derfor er også G(t ) + t/2 en like funksjon slik at alle odde Bernoulli-tall med må være null.M. Kline, Euler and Infinite Series , Mathematics Magazine 56 (5), 307-314 (1983).
Notasjon og definisjon av Bernoulli-tallene har variert opp gjennom årene. Jakob Bernoulli selv skrev de første med like indekser som , , og så videre. En tidligere mye brukt definisjon var basert på å definere Bernoulli-tallene ved funksjonen
En tilsvarende rekkeutvikling av denne funksjonen gir alternative Bernoulli-tall Bn* som er nøyaktig de samme som Bn bortsett fra . I de fleste sammenhenger brukes ikke denne definisjonen lenger.M. Abramowitz and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York (1972).Eric Weisstein, MathWorld, Bernoulli Number.
Summasjon av potenser thumb|420px|Utdrag fra Bernoullis Ars Conjectandi om summasjon av potensierte heltall. Koeffisienten til n2 i summen av 9-potenser skal være -3/20 og ikke -1/12.
Helt fra antikken har det vært interesse i å kunne beregne summen av potenser av de naturlige tallene,
De første eksemplene er
Slike summer var tidligere blitt undersøkt av den tyske ingeniør og matematiker Johannes Faulhaber. Han kunne utlede tilsvarende formler for rekker inneholdende opptil 17-potenser. Men det var Jakob Bernoulli som oppdaget systematikken i disse formlene og kunne generalisere dem til rekker med vilkårlig høye potenser. Han påpekte blant annet at summene av p-potenser kan skrives som polynom i n hvor det ledende leddet alltid er n p+1/(p + 1). Likedan har neste ledd av grad p alltid en koeffisient lik 1/2. Dette er Bernoulli-tallet . Koeffisienten til leddet proporsjonalt med n er Bernoulli-tallet . Sammen med den generelle formelen for summen ble dette en del av hans verk Ars Conjectandi.Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi, tysk oversettelse, Leipzig (1899).
For å være i overenstemmelse med den moderne definisjonen av Bernoulli-tallene, er det mer naturlig å foreta summasjonen av potenser fra 0 til n - 1 istedenfor fra 1 til n. Generelt har man da å gjøre med summene
som er direkte relatert til de opprinnelige ved den enkle sammenhengen
Det betyr at kun koeffisienten til leddet av grad p i polynomet skifter fortegn og tilsvarer den nyere konvensjonen med . I tillegg har man da for summen når man definerer . Disse summene omtales vanligvis som Faulhaber-polynomene.
Generell formel
Bernoulli kjente til at summen av vilkårlig mange polytopiske figurtall kan skrives som et nytt slikt figurtall. Ved å kombinere slike summer med koeffisienter fra Pascals trekant kom han frem til en general formel for summen av potenserte heltall. Svaret er gitt ved polynomet
Tallene Bk er konstanter, uavhengige av potensen p og er siden blitt kalt for Bernoulli-tall. Denne formelen reproduserte de allerede kjente polynomene til Faulhaber, men kunne nå benyttes for alle summer med vilkårlig høye potenser.
Beregningen er nå redusert til å finne et lite antall Bernoulli-tall. Jakob Bernoulli selv regnet disse ut opp til Han hadde dermed for summen
Dette skapte tydelig så stor begeistring som han omtalte i Ars Conjectandi, etter at han nå kunne regne summen ut for n = 1000 på mindre enn et halvt kvarter med det store tallet som resultat. Istedenfor å legge sammen tusen store tall, forenkler formelen beregningen i dette tilfellet til en summasjon av bare syv tall.
Rekursjonsrelasjoner Slik som Bernoulli-tallene opptrer i summasjonsformelen, er det klart at de må være relatert til hverandre på en bestemt måte. Bortsett fra B0 er de alle brøker, men likevel skal de gi et heltall for summen for alle heltall n. Denne sammenhengen kan enklest tydeliggjøres ved å velge . For alle er da summen slik at formelen til Bernoulli gir
Ved å isolere leddet i denne rekken hvor k = p, kan sammenhengen skrives som
Dette er en rekursjonsrelasjon som gjør det umulig å beregne Bp når man allerede kjenner de med indekser . Starter man med , får man til laveste orden at eller . I neste stepp følger dermed = 1/2 som gir . Slik kan man så fortsette. Det var denne formelen at Ada Lovelace programmerte for den planlagte regnemaskinen til Charles Babbage i 1843 for beregning av Bernoulli-tallene .E.E. Kim and B.A. Toole, Ada and the First Computer, Scientific American, May (1999).
Setter man n = p + 1 I rekursjonsformelen, kan den skrives som
hvor nå n ≥ 2. Denne summen har samme struktur som binomialformelen for (1 + B)n hvis man skriver Bernoulli-tallet hvor B uten indeks behandles som et abstrakt symbol.J. Mathews and R.L. Walker, Mathematical Methods of Physics, W.A. Benjamin, New York (1970). ISBN 0-8053-7002-1. Da kan rekursjonsformelen skrives på den kompakte formen eller
Fra n = 2 og oppover finner man herav de tidligere sammenhengene
som kan fortsettes på samme måte hvor koeffisientene finnes direkte fra Pascals trekant. Som tidligere er her B 0 = 1.
Matriseformulering Rekursjonsrelasjonen som genererer Bernoulli-tallene, kan skrives på matriseform.H. A. Turnbull, The Theory of Determinants, Matrices, and Invariants, Dover Publications, New York (1960).. Skal man beregne for eksempel de tre første, kan de inngå i en kolonnevektor b med komponenter bT = (B 0, B1, B2, B3). Ved å innføre 4×4-matrisen
,
kan de fire rekursjonsligningene skrives på den kompakte formen
hvor kolonnevektoren e har komponentene eT = (1, 0, 0, 0). Mer eksiplitt ser dette ut som den ene matriseligningen
Elementene til matrisen A er de samme som i Pascals trekant hvor linjen til høyre med bare 1-tall er fjernet. De kan uttrykkes ved binomialkoeffisientene som
og er null ellers. Indeksene i og j går her fra 0 til 3. Hver kolonne i matrisen inneholder de polytopiske figurtallene. Disse matriseligningene kan lett generaliseres til n×n-matriser som gjelder for Bernoulli-tallene fra B 0 opp til Bn - 1
Ved å beregne den inverse matrisen A−1 kan Bernoulli-tallene beregnes fra b = A−1⋅e. De er derfor gitt ved elementene i den første kolonnen til den inverse matrisen. I eksempelet over der A er en 4×4-matrise, finner man
I tillegg til B 0 = 1, ser man herav at B1 = -1/2, B2 = 1/6 og B3 = 0.
Faulhaber-polynom
Formelen til Bernoulli for summasjon av potenser kan nå også lett utledes. Man kan da ta utgangspunkt i summen
når m ≥ 1. Men samtidig kan man omskrive summen på venstre side ved bruk av binomialformelen slik at man har
etter å ha satt m = r + 1 og innført notasjonen Sp(n) for summene av p-potenser over n heltall. Men dette settet med ligninger representerer igjen en enkelt matriseligning hvor de to kolonnevektorene har komponenter og Ved å bruke den inverse matrisen kan ligningen omskrives til
som gir summene uttrykt ved Faulhaber-polynomer i n. Dette er ikke noen annet Bernoullis summasjonsformel skrevet på matriseform.
Et enkelt eksempel er de fire første summene. De kan nå avleses fra
Denne fremgangsmåten er dermed redusert til å finne den inverse matrisen . Dette kan alltid gjøres med standard metoder fra lineær algebra for vilkårlig store matriser.
Bernoulli-polynom
thumb|480px|Grafisk fremstilling av de første Bernoulli-polynomene Bn(x) i intervallet 0 < x < 1. Ved å betrakte B som er abstrakt symbol, kan man fra den samme rekursjonsrelasjon lett definere spesielle polynom direkte forbundet med Bernoulli-tallene. Det er Bernoulli-polynomnene
De fem første er
Fra definisjonen ser man at de har alle den spesielle egenskapen for , mens for . Disse polynomene kan derfor lett utvides til å bli periodiske funksjoner.
Summasjonsformelen til Bernoulli kan nå skrives på den kompakte formen
De opprinnelige polynomene som Faulhaber fant for summene av potenser, kan derfor på denne måten enkelt uttrykkes ved Bernoulli-polynom.
Analytisk sammenheng Bernoulli-polynomene kan forbindes ved derivasjon. Det følger fra å skrive den genererende funksjonen
for Bernoulli-tallene på den symbolske formen
Det betyr at produktet G(t,x) = G(t )etx blir
En derivasjon av begge sidene av denne ligningen med hensyn på den variable x, gir nå
Ved å sammenligne koeffisientene til t k på begge sider, fremkommer den analytiske sammenhengen
Da Faulhaber-summene kan uttrykkes ved Bernoulli-polynom, betyr dette at man kan finne summen ganske enkelt ved derivasjon av . Det følger fra
Dette kan illustrereres for eksempel for p = 4. Da er
Men man kan også ut fra dette øke graden på Faulhaber-polynomene ved direkte integrasjon. Det gir
som er den opprinnelige summasjonsformelen til Bernoulli.
Bernoulli-tallene og zetafunksjonen thumb|360px|Blått plott som viser hvordan den naturlige logaritmen til Bernoulli-tallene øker med indeksen 2k. I rødt vises Stirlings approksimasjon. Det var Euler rundt 1735 som i forbindelse med løsningen av Basel-problemet, fant sammenhengen mellom Bernoulli-tallene og det som senere av Riemann skulle bli kalt zetafunksjonen ζ(s).W. Dunham, Euler: The Master of Us All, The Mathematical Association of America (1999). ISBN 0-88385-328-0. Denne sammenhengen eksisterer spesielt for positive partall s = 2k og kan da skrives som
Når argumentet i zetafunksjonen blir stort og positivt, vil den første termen i rekken dominere slik at funksjonen går mot den konstante verdien 1. Bernoulli-tallene for store indekser vil derfor vokse som
som kan estimeres mer nøyaktig ved bruk av Stirlings formel for fakultetsfunksjonen. Det gir
.
og betyr at Taylor-rekken
for Bernoulli-tallene er konvergent bare for |x | < 2π.
Fra integraldefinisjonen av zetafunksjonen følger nå integralene
De opptrer i statistisk kvantemekanikk for masseløse bosoner som for eksempel fotoner i sort stråling.
Ved å bruke omskrivningen