thumb|240px|Giulio Carlo Fagnano, 1682 - 1766, avbildet med en tegning av lemniskaten.

Giulio Carlo di Fagnano dei Toschi var en italiensk matematiker som levde på 1700-tallet. Han er mest kjente for sine arbeider med buelengden til lemniskaten. De danner utgangspunktet for de spesielle egenskapene til elliptiske integral.

Han var født den 26/9 - 1682 i Senigallia nær Ancona i Italia og døde i samme by den 18/5 - 1766. Da han tilhørte en gammel, adelig slekt, vokste han opp i rike omgivelser og fattet tidlig interesse for åndelige spørsmål og de skjønne kunster. Fjorten år gammel begynte han videregående studier I Roma hvor han snart utmerket seg innen filosofi og teologi. Dette gjorde han interessert i de franske filosofene Gassendi og Descartes med det resultat at han begynte å korrespondere med Malebranche om slike tema. Gjennom dennes verk La recherche de la vérité fikk han sans for matematikk. I de følgende årene studerte han på egen hånd verkene til Leibniz og Newton om differensialregning og etterhvert ble dette hans store hobby. G.N. Watson, The Marquis and the Land-Agent, The Mathematical Gazette 17 (222), 5-17 (1933).

left|thumb|200px|Produzioni matematiche (1750) med lemniskaten i sentrum samt motto Deo veritatis gloria. For å avgjøre om det var formulerigen til Leibniz eller Newton som var den beste, fikk det engelske Royal Society matematikeren Brook Taylor til å formulere en vanskelig oppgave som skulle løses. Dette gjorde Fagnano så overbevisende basert på Leibniz sin fremgangsmåte at han i 1723 ble innvalgt som medlem.

Samtidig med denne matematiske innsatsen var han blitt utnevnt til den viktige stillingen som gonfaloniere i sin hjemby. Han markerte seg dermed som en viktig, men også omstridt person i byens styre. Da den vitenskapelig interesserte pave Benedikt XIV satte i gang et stort prosjekt i 1742 for å stabilisere kuppelen på Peterskirken i Roma, ble Fagnano trukket inn for å vurdere forskjellige løsninger. Som takk for innsatsen støttet paven trykkingen av hans samlede, matematiske verk Produzioni matematiche som ble utgitt i 1750.W. Kalayjian, Saving Michelangelo's Dome, Pegasus Books, New York (2024). ISBN 1-6393-6586-9.

På denne tiden var Maupertuis president i vitenskapsakademiet i Berlin og mente at Fagnano burde tas opp som utenlandsk medlem. Euler ble oppnevnt til å vurdere hans arbeid og ble så imponert over de oppnådde resultatene for lemniskaten at han satte i gang sine egne undersøkelser og generaliseringer av lignende problem. Dette var begynnelsen på den delen av moderne matematikk som i dag omtales som elliptiske integral og elliptiske funksjoner.

Giulio Fagnano var gift med Francesca Sassofrato. De fikk seks døtre og seks sønner hvorav bare noen få vokste opp. En av disse var Giovanni Fagnano som i voksen alder også utmerket seg som matematiker, men oppnådde ikke samme berømmelse som sin far. H.K. Strick, Giulio Fagnano, der Begründer der Elliptischen Funktionen, Spektrum der Wissenschaft (2023). Onine

Matematiske bidrag Fagnano publiserte de fleste av sine arbeid i den italienske serien Giornale de' letterati d'Italia. De ble samlet og utgitt i 1750 som hans samlete verk Produzioni matematiche. De viktigste gjorde bruk av matematisk analyse, men inneholdt også flere resultat angående geometriske egenskaper ved trekanter. For eksempel beviste han at avstandene fra midtpunktet M  i en slik figur til hjørnene ABC  oppfyller

Men det var hans bruk av den nye integral- og differensialregningen til Newton og Leibniz som har betydd mest for ettertiden. Han var kjent med arbeidene til brødrene Jakob og Johann Bernoulli som hadde begynt å beregne buelengden til forskjellige, plane kurver og arealene under dem. De var også blitt klar over noen interessante egenskaper ved en åttetallsformet kurve som de hadde gitt navnet lemniskate. Det er spesielt denne som har gjort også Fagnano berømt.

thumb|240px|Lemniskaten har to brennpunkt.

Ved bruk av polarkoordinater (r, θ ) kan ligningen for lemniskaten skrives som i passende enheter. Lengden av en bue fra sentrum til et nærliggende punkt er da gitt ved integralet

Dette kan ikke uttrykkes ved kjente funksjoner. Men Fagnano fant i 1718 ved matematiske manipulasjoner at det kan omskrives til å gi mange enkle sammenhenger mellom ulike slike buelengder. For eksempel, han oppdaget en ny variabel

som gir nøyaktig den dobble buelengden, s(u) = 2s(r). Da den kun inneholder de vanlige regneartene, kan denne lengden konstrueres med passer og linjal fra den gitte lengden r. Omvendt kan man på denne måten også halvere en gitt buelengde. På lignende vis kunne Fagnano vise at man kunne også dele lemniskaten opp i 3 eller 5 like store deler på tilsvarende måte som man kan gjøre med sirkelen for å lage regulære mangekanter. G. Fagnano, Metodo per misurare la lemniscata, Giornale de' letterati d'Italia, 29, 258 (1718). Online. Dette ble først klarlagt av Niels Henrik Abel hundre år senere, men også i stor grad av Gauss. Det ble kjent etter at han var død, og man fikk tilgang til hans notatbøker.C. Skau, The lemniscate and Abel’s discovery of complex multiplication for elliptic curves, NTNU (2010).

Kjeglesnitt

Ved en sirkelinversjon med radius a  går ligningen for lemniskaten over til Ved å bruke av en trigonometrisk identitet for cosinus til den dobbelte vinkel, er denne ekvivalent med den kartesiske ligningen

Den beskriver en rektangulær hyperbel hvor vinkelen mellom de to asymptotene er 90° og har dermed en eksentrisitet som er lik med √2. På lignende vis fant han nye resultat for andre kjeglesnitt. E.W. Weisstein, Fagnano's Theorem, Wolfram MathWorld. .

Ellipsen med eksentrisitet 1/√2 viste han også å være spesiell. Den har den kartesiske ligningen

da forholdet mellom dens to halvakser er a/b = √2. Det betyr at den kan innskrives eksakt på et A4-ark ved at den tangerer alle fire sidene.C.B. Boyer, History of Mathematics, Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691--02391-3.

Komplekse tall thumb|300px|Utsnitt av Fagnanos Produzioni matematiche hvor han benytter komplekse tall til å beregne π . På 1500-tallet hadde Rafael Bombelli introdusert en imaginær enhet i = √-1 for å løse tredjegradsligninger. Dens bruk og betydning var lite forstått i årene som fulgte. Fagnano var en av de første som gjorde bruk av dens egenskaper på andre områder av matematikken. For eksempel, når man betrakter integralet

som ofte forbindes med Leibniz, kan nevneren i integranden faktoriseres og skrives som Ved en delbrøksoppløsning gir integrasjon et resultat som kan uttrykkes ved den komplekse logaritmefunksjonen. På dette viset kom Fagnano frem til den overraskende sammenhengen

som på hans tid fremdeles var vanskelig å forstå. I dag kan man betrakte dette resultatet som et forvarsel om den berømte Eulers likhet. Komplekse tall skulle senere få avgjørende betydning for etableringen av elliptiske funksjoner som har sitt opphav i Fagnanos beregninger av lemniskatens buelengder.

Referanser

Eksterne lenker

MacTutor, Giulio Fagnano, University of St. Andrews, Scotland.

Kategori: Italienske matematikere