thumb|Undervisning i geometri, fra rundt 1312. Konstruksjon i euklidsk geometri består i å konstruere nye punkt, linjestykker og sirkler med gitte egenskaper, kun ved bruk av passer og linjal. De to hjelpemidlene skal benyttes etter bestemte regler og kalles da euklidske hjelpemidler.

Grunnlaget for geometriske konstruksjoner ble lagt av matematikere i antikkens Hellas, og ikke minst har Euklids Elementer hatt en svært stor betydning. Helt fra oldtiden og fram til moderne tid har euklidsk geometri vært omfattende studert og videreutviklet. Mange kompliserte geometriske konstruksjoner og bevis kan bygges opp ved hjelp av et endelig antall standard konstruksjoner. Lengder som lar seg konstruere med euklidske hjelpemidler kalles konstruerbare tall eller euklidske tall og er en ekte delmengde av de reelle tallene.

Flere problemstillinger er ikke løsbare med euklidske hjelpemidler, og dette inkluderer de tre klassiske problemstillingene sirkelens kvadratur, kubens fordobling og vinkelens tredeling. Konstruksjonene kan imidlertid gjennomføres dersom en tillater andre typer hjelpemidler. Ved hjelp av analytisk geometri kan en føre bevis for hvilke typer problemer som lar seg løse med euklidske hjelpemidler.

Regler for lovlig bruk av passer og linjal De to hjelpemidlene linjal og passer kan kun benyttes i konstruksjonen etter bestemte regler.A. Holme: Geometry. Our cultural heritage. s.48-50 Linjalen skal være uten målestreker. Som utgangspunkt kan en bruke et endelig antall gitte punkt. Nye punkt kan konstrueres som skjæringspunkt mellom to linjer, mellom to sirkler og mellom en linje og en sirkel. To typer konstruksjon regnes som lovlige:

Linjalen kan brukes til å trekke en linje gjennom to gitte punkt. Linjen kan forlenges uendelig i begge retninger. Passeren kan brukes til å lage en perfekt sirkel med et gitt punkt som sentrum, slik at sirkelbuen går gjennom et annet gitt punkt.

Reglene tillater altså ikke at passeren brukes til å flytte en gitt avstand. En kan tenke seg at den ideelle passeren kollapser straks det ene benet løftes fra papiret. En passer som oppfyller disse ideelle kravene kalles en euklidsk passer. En slik passer og en linjal uten målestreker kalles sammen euklidske hjelpemidler.

Når det likevel er lov å tegne to sirkler med samme radius, men med to ulike sentrum, så er dette fordi en slik konstruksjon er mulig ved å kombinere flere steg av de to lovlige operasjonene. Dette er vist i det følgende avsnittet To sirkler med lik radius. Bruk av en moderne passer er dermed likeverdig med en ideell passer.

Konstruksjon etter disse reglene er i samsvar med Euklids store verk Elementer.A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.259ff Reglene tillater konstruksjoner som stemmer overens med de tre første av de fem postulatene som Euklid brukte som grunnlag for geometrien. Detaljer om hvordan disse reglene kom til å bli etablert er ikke kjent, men de ble praktisert før Euklid virket. Tradisjonen har knyttet opphavet til Platon, men det er tegn på at reglene var i bruk også før Platon.T. Heath A history of Greek mathematics (Vol. I) s.288 Platon mente at linjer og sirkler var mer ideelle objekter en andre typer kurver.

Vanlige konstruksjoner Ved hjelp av reglene for lovlig bruk av passer og linjal kan en gjennomføre en rekke typer grunnleggende konstruksjoner. De følgende avsnittene viser noen slike, der reglene er brukt i streng form. Figurer er vist samlet på slutten av avsnittet.

Vanligvis vil en benytte seg av muligheten til å kunne kopiere en sirkel med en gitt radius. En vil også ikke tegne hele sirkler, men bare deler nødvendige for konstruksjonen. Kompliserte geometriske bevis kan gjennomføres ved å kombinere grunnleggende konstruksjoner i et endelig antall steg.

Halvering av en vinkel Gitt tre punkt som danner en vilkårlig vinkel med toppunkt T og der ett av de andre punktene er A. Med en passer, slå en sirkel med sentrum i T gjennom punktet A. Sirkelen skjærer det andre vinkelbeinet i punktet B. Lag deretter to sirkler, med sentrum i henholdsvis A og B, som begge går gjennom toppunktet T. De to siste sirklene skjærer hverandre i et punkt C. Linjen gjennom T og C vil halvere vinkelen.

Mer vanlig utføres konstruksjonen ved å bruke to identiske sirkler med vilkårlig radius, med sentrum i henholdsvis A og B.

En vinkel har en og kun en halveringslinje. Denne linjen er det geometriske sted for punkt som ligger like langt fra de to vinkelbeina. Halveringslinjesetningen omtaler forhold mellom lengder i en trekant, når en av trekantens vinkler halveres. Sentrum i innsirkelen i en trekant ligger på det felles skjæringspunktet mellom de tre halveringslinjene til vinklene i trekanten.

En normal til en linje i et gitt punkt Gitt en rett linje gjennom to punkt A og B. En normal til linjen gjennom B kan konstrueres ved først å slå en sirkel med sentrum i B gjennom A. Sirkelen skjærer linjen i A, men også i et annet punkt C. En ny sirkel tegnes med sentrum i A og gjennom C. Tilsvarende tegnes en tredje sirkel med sentrum i C gjennom A. De to siste sirklene skjærer hverandre i to punkt P og Q. En linje gjennom disse to punktene er en normal til linjen gjennom B.

Også i dette tilfellet er det mer vanlig å utføre konstruksjonen ved å bruke to identiske sirkler med vilkårlig radius, med sentrum i henholdsvis A og C. Normalen deler linjestykket AC i to like deler.

En normal fra et punkt ned på en linje Gitt en rett linje gjennom to punkt, der ett av disse er A. Gitt et annet punkt P som ikke ligger på linjen. Slå en sirkel med sentrum i P gjennom A. Sirkelen skjærer linjen i A, men også i et annet punkt B. Deretter slå en ny sirkel med sentrum i A gjennom 'P og en tredje sirkel med sentrum i B gjennom P. De to siste sirklene skjærer hverandre i P, men også i punktet Q på motsatt side av linjen. En ny linje gjennom P og Q er normal til den opprinnelige linjen.

Dersom de to punktene A og B er sammenfallende, så vil linjen gjennom P og A være den søkte normalen.

Denne konstruksjonen kan for eksempel brukes til å konstruere normalen fra et trekanthjørne ned på den motstående siden. Den kan også brukes til å speile et punkt om en linje.

En midtnormal

Gitt to punkt A og B på en rett linje. For å konstruere en midtnormal til linjestykket AB, lag først en sirkel om A gjennom B. Tegn deretter en sirkel om B gjennom A. En rett linje gjennom de to skjæringspunktene for de to sirklene vil være en midtnormal. Midtnormalen deler AB i to like deler.

En parallell linje gjennom et gitt punkt

En parallell til en linje, gjennom et gitt punkt, kan konstrueres ved å kombinere de to metodene for konstruksjon av normalen til en linje. Gitt en rett linje og et punkt P som ikke ligger på linjen. Konstruer først en normal til linjen fra punktet P. Deretter konstrueres en ny normal til normalen gjennom P. Normalen til normalen er parallell med den opprinnelige linjen.

To sirkler med lik radius

De euklidske reglene tillater strengt tatt ikke at en kopierer lengder, og fra dette kan en ikke uten videre slå to vilkårlige sirkler med samme radius. Når en slik operasjon likevel er akseptabel, så er dette fordi en kan gjennomføre operasjonen ved hjelp av flere lovlige steg: Gitt en sirkel om punktet A gjennom punktet B. Anta at en ønsker å lage en sirkel om et vilkårlig tredje punkt P, med samme radius som i den gitte sirkelen. En kan da konstruere en parallell linje gjennom A til linjestykket gjennom BP. Deretter en parallell linje gjennom P til linjestykket AB. De to konstruerte parallellene vil skjære hverandre i et punkt Q. En kan nå slå en sirkel om P gjennom Q, og denne sirkelen vil ha samme radius som den opprinnelige.

En sirkel gjennom tre punkt

Gitt tre punkt A, B og C som ikke ligger på linje. En sirkel som skjærer alle tre punkt kan konstrueres slik: Trekk først to linjer, AB og AC. Konstruer deretter midtnormalen tilAB og så midtnormalen til AC. De to midtnormalene skjærer hverandre i et punkt S, som vil være sentrum i den søkte sirkelen. Slå nå en sirkel om S gjennom A. Denne vil også gå gjennom B og C.

En sirkel konstruert på denne måten vil være en omskrevet sirkel til trekanten ABC.

Konstruksjon av gitte lengder

Ut fra et gitt linjestykke, definert som lengde 1, er det mulig å konstruere linjestykker med lengder svarende til både naturlige tall, rasjonale tall og irrasjonale tall. Lengder som lar seg konstruere i med et endelig antall steg med euklidske hjelpemidler, kalles for konstruerbare tall eller euklidske tall.A. Holme: Geometry. Our cultural heritage. s.331ffG.H. Hardy, E.W. Wright: An introduction to the theory of numbers s.204 Mange irrasjonale tall er ikke konstruerbare. Et konstruerbart tall er alltid et reelt algebraisk tall, mens et transcendentalt tall aldri kan være konstruerbart. De konstruerbare tallene er derfor en ekte delmengde av de reelle tallene.

Nye linjestykker kan selvsagt lett konstrueres ved repetert addisjon og subtraksjon av to gitte linjestykker. Et vilkårlig linjestykke også kan enkelt deles i like deler, som vist i den venstre av figurene under for 3: Gitt to punkt A og B på en rett linje. Konstruer en normal i A og deretter en parallell til den opprinnelige linjen, gjennom et vilkårlig punkt C. På parallellen, sett av nye punkt i avstanden AB: D, E og F. (Dette er en lovlig konstruksjon, gjennomførbart i flere steg). Trekk så en linje gjennom F og B. Denne skjærer normalen i A i et punkt T. Trekk så linjer gjennom T og punktene D og F. Alle linjene gjennom T deler nå linjestykket AB i 3. Linjestykker definert ved forholdstall kan også konstrueres ved hjelp av transversalteoremet.

Dersom og er konstruerbare lengder, så vil også både og være konstruerbar. En størrelse uttrykt som et produkt mellom to gitte lengder lar seg imidlertid ikke konstruere som en lengde, uten at en velger en enhet. For å se at dette er nødvendig, anta at lengden er kortere enn . Dersom enheten er valgt slik at , så vil produktet ha en lengde kortere enn . Velges derimot enheten slik at , så er produktet lenger enn . I gresk matematikk var et produkt alltid et areal, ikke en lengde.A. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.242f Et begrep som «enhetslengde» var ikke brukt i klassisk euklidsk geometri. Heller ikke størrelsen kan konstrueres uten at en enhetslengde er kjent.

Til gjengjeld er det lett å konstruere et linjestykke med lengde . Greske geometer brukte ofte forholdstall, og er mellomproporsjonalen, gitt ved forholdetA. Holme: Matematikkens historie (Bind 1) s.212

Anta at tre punkt A, B og C er definert på en linje, slik at AB = og BC = . Konstruer en sirkel som har AB som diameter. Konstruer normalen fra B. Der normalen skjærer sirkelen, definer punktet D. Den søkte mellomproporsjonalen er linjestykket BD. Konstruksjonen er vist i den høyre figuren under.

En rettvinklet trekant kan selvsagt brukes til å konstruere mange lengder svarende til tall med kvadratrøtter, noe som følger direkte av Pythagoras’ læresetning. For eksempel gir en rettvinklet trekant med kateter med lengder henholdsvis 1 og 2 hypotenusen som et linjestykke med lengde . Konstruksjon av det gyldne snitt kan også gi et linjestykke med lengde

Konstruksjon av gitte vinkler

Vinkelsummen i en trekant er lik summen av to rette vinkler, det vil si radianer eller 180°, et resultat som var kjent allerede blant de greske pytagoreerne. I en likesidet trekant er alle vinklene like store, så dette må igjen være like en tredel av to rette vinkler. En linje som skjærer en annen linje i en vinkel på 60° lar seg dermed lett konstruere. Gitt en rett linje gjennom to punkt A og B. Slå en sirkel om A gjennom B. Deretter slå en sirkel om B med samme radius. En linje gjennom A og skjæringspunktet mellom de to sirklene vil være den søkte linjen.

En rekke andre tallfestede vinkler lar seg konstruere ved hjelp av normaler, 60°-vinkler og vinkelhalveringer.