miniatyr|Att en reellvärd funktion definierad på hela R är kontinuerlig betyder att dess graf är sammanhängande. miniatyr|Denna funktion är inte kontinuerlig i punkten x0 eftersom den där gör ett hopp.
Inom matematiken är en kontinuerlig funktion en funktion som inte gör några plötsliga hopp och inte har några avbrott, så att nästan lika värden in garanterar nästan lika värden ut. För en reellvärd funktion f med ett reellt argument kan man precisera detta som att man för varje givet reellt tal x0 där funktionen är definierad och varje given noggrannhet kan vara säker på att f(x) approximerar f(x0) med minst denna noggrannhet för alla x som ligger tillräckligt nära x0.
Begreppet kontinuitet är dock mycket använt inom olika delar av matematiken, även sådana där denna intuitiva förklaring inte så lätt låter sig omformuleras i en stringent definition. Topologi är den gren av matematiken som studerar kontinuerliga funktioner i dess mest generella betydelse. Där definieras en funktion mellan två topologiska rum som kontinuerlig, om varje urbild av en öppen mängd är öppen. Man kan visa att denna generella definition betyder samma sak som den vanliga definitionen för "vanliga" funktioner.
Exempel En funktion f definierad på en delmängd av de reella talen är kontinuerlig i en punkt i funktionens definitionsmängd Df om den där identisk med sitt gränsvärde, det vill säga om
Att f är kontinuerlig betyder att den är kontinuerlig i varje punkt i Df. Exempelvis är f definierad av för alla x skilda från 0 kontinuerlig, trots att dess graf "hoppar" i punkten 0.
Formella definitioner av "kontinuerlig funktion" Den intuitiva beskrivningen med hjälp av "noggrannhet" brukar traditionellt formaliseras i termer av ε (som uttalas epsilon och här betecknar "utvärdesnoggrannheten") och δ (delta, "invärdesnoggrannheten"). Detta ger följande precisa definition i det mest grundläggande fallet.
På reella tallinjen En reellvärd funktion f av en reell variabel (alltså sådan att dess definitionsmängd ) är: kontinuerlig i punkten om det för vart existerar ett sådant att och medför . kontinuerlig i ett intervall (exempelvis [a, b] eller ]a, b[) om den är kontinuerlig i alla punkter i intervallet. kontinuerlig om den är kontinuerlig i varje punkt x i Df.
Man kan göra liknande definitioner exempelvis för funktioner mellan delmängder av olika ändligtdimensionella reella vektorrum, så snart man har preciserat vad betyder. Exempelvis brukar man på Rn definiera detta som det euklidiska avståndet: .
Mellan metriska rum Allmännare räcker det om både definitionsmängden och målmängden är försedda med metriker, avståndsfunktioner som uppfyller triangelolikheten. Med andra ord, om (X, dx) och (Y, dy) är metriska rum är funktionen kontinuerlig i om det för varje existerar ett så att .
Om och ges den vanliga metriken dR definierad genom , är denna definition ekvivalent med den förra definitionen.
Mellan topologiska rum För allmänna topologiska rum X och Y gäller att en funktion är kontinuerlig om urbilden av varje öppen mängd i Y är öppen i X. Det vill säga för varje öppen mängd gäller att f -1(U) är öppen i X.
Man säger att f är kontinuerlig i punkten x om det för varje omgivning V till f(x) finns en omgivning U till x, sådan att . Om X och Y är metriska rum, så är denna definition ekvivalent med den klassiska .
Riktad kontinuerlighet miniatyr|en högerkontinuerlig funktion En funktion kan vara kontinuerlig i endast en riktning.
Se även Differentierbarhet Diskret funktion Kontinuum Lipschitz-kontinuitet Likformig kontinuitet Externa länkar