Triangelolikheten Wolfram MathWorld – http://mathworld.wolfram.com/TriangleInequality.html är en matematisk olikhet enligt vilken längden av en viss sida i en triangel är mindre än(eller lika med) summan av längderna av de övriga sidorna men större än(eller lika med) differensen mellan dessa sidor (brukar kallas den omvända triangelolikheten).
Den är giltig i en stor uppsättning rum, bland annat för de reella talen.
Normerat vektorrum I ett normerat vektorrum V kan triangelolikheten skrivas
för alla
Likhet gäller om och endast om x och y är parallella.
Reella tallinjen Den reella tallinjen är ett normerat vektorrum med absolutbeloppet som norm. Triangelolikheten för de reella talen skrivs därmed som
Här gäller likhet om x och y har samma tecken.
Komplexa talplanet Inom komplex analys gäller olikheten
med likhet om . Dessutom (se följdsatsen nedan) gäller
med likhet om .
Metriska rum Triangelolikheten ingår som ett av de definierande axiomen för metriken d i ett metriskt rum ℳ.
Den innebär att summan av avståndet mellan två punkter p och q alltid är mindre eller lika med summan av avstånden mellan punkt p och en godtycklig punkt r, samt avståndet från r till q:
där d(p, q) betecknar avståndet mellan p och q. Funktionen d(p, q) : ℳ → ℝ kallas metriken, eller avståndsfunktionen. Notera att det är avståndet mellan två objekt som definierar rummet och inte tvärt om.
Följdsats Ur triangelolikheten följer att
och
vilket betyder att normen ||a|| och avståndsmåttet d(a,b) är Lipschitz-kontinuerliga och därmed även kontinuerliga.
Serier och integraler Triangelolikheten har ett antal följdsatser.
Med induktion man kan visa att
för xi ∈ ℝ och n ∈ ℕ.
För absolutkonvergenta serier, det vill säga för
finns en triangelolikhet: .
För en integral, exempelvis Riemannintegralen, kan man med definitionen av supremum och infimum visa att det finns en triangelolikhet ,
om f(x) är Riemannintegrerbar.
Se även Triangel Cauchy–Schwarz olikhet Pythagoras sats
Referenser
Kategori:Komplex analys Kategori:Olikheter Kategori:Satser