Paraabelin neliöiminen (, ) on Arkhimedeen kirjoittama antiikin kreikkalainen matemaattinen teos, joka käsittelee paraabelisegmenttien eli paraabelin ja suoran rajaaman alueen pinta-aloja, tunnetuimpana osana paraabelin neliöiminen. Arkhimedes osoittaa, että paraabelisegmentin pinta-ala on erään sen sisään piirretyn kolmion pinta-alasta.Stén, Johan: ”Arkhimedeen teosten kokoaminen”, ”Arkhimedeen tutkielmia: Paraabelin neliöiminen” ja ”Arkhimedeen tutkielmia: Mekaanisten teoreemojen menetelmä”. Teoksessa
Historia
Arkhimedes eli ja kirjoitti hellenistisellä kaudella 200-luvulla eaa. Teoksensa Paraabelin neliöiminen hän osoitti ystävälleen Dosiheokselle.Arkhimedes: Paraabelin neliöiminen, johdanto ja propositiot 1–5. Wilbur Knorr luki teoksen Paraabelin neliöiminen hänen varhaisempien teostensa joukkoon.
Kartioleikkaukset, kuten paraabeli, olivat Arkhimedeen aikaan jo hyvin tunnettuja noin vuosisata aiemmin eläneestä Menaikhmoksesta lähtien. Ennen differentiaali- ja integraalilaskennan kehittymistä ei kuitenkaan ollut helppoja keinoja määrittää kartioleikkauksen pinta-alaa. Arkhimedes esittää ensimmäisen tunnetun ratkaisun tähän ongelmaan keskittymällä nimenomaan paraabelin ja jänteen rajaaman alueen pinta-alaan. Arkhimedeen teoksessa esittelemä tulos oli ensimmäinen todellinen esimerkki kaarevareunaisen alueen neliöinnistä, toisin sanoen sellaisen suoraviivaisen kuvion löytämisestä, joka on pinta-alaltaan yhtä suuri kuin alue, jota eivät rajoita yksinomaan suorat viivat. Hänen esittämänsä geometrinen todistus edustaa antiikin kreikkalaisessa matematiikassa kaikkein kehittyneintä reductio ad absurdum -todistuksen käyttöä, ja Arkhimedeen ratkaisu pysyi ylittämättömänä aina 1600-luvulle integraalilaskennan syntyyn saakka, jolloin sen syrjäytti Cavalierin kvadratuurikaava.
Sisältö
Teos sisältää 24 propositiota, jotka käsittelevät paraabelisegmenttejä ja niiden pinta-aloja. Paraabelisegmentti on alue, jota rajaavat paraabeli ja suora. Paraabelisegmentin pinta-alan määrittämiseksi Arkhimedes tarkastelee erästä sisään piirrettyä kolmiota. Tämän kolmion kanta on paraabelin annettu jänne, ja kolmas kärki on paraabelilla sellaisessa pisteessä, että paraabelin tangentti tässä pisteessä on yhdensuuntainen jänteen kanssa. Näin kolmiolla on sama kanta ja sama korkeus kuin segmentillä.
pienoiskuva|Paraabelisegmentti. Propositiot 1–5 ovat paraabelia koskevia johdantopropositioita. Tämän jälkeen Arkhimedes esittää kaksi todistusta siitä, että minkä tahansa paraabelisegmentin pinta-ala on kuvatun kolmion pinta-alasta. Ensimmäinen, mekaaninen todistus käsittää propositiot 6–17. Se perustuu abstraktiin mekaniikkaan.Arkhimedes: Paraabelin neliöiminen, propositiot 6–17. Arkhimedes tarkastelee painovoiman vaikutuksesta tasapainossa olevaa vipua, jonka varsille on ripustettu painotettuja paraabelisegmenttejä ja kolmioita tietyille etäisyyksille tukipisteestä. Kun kolmion painopiste tunnetaan, vivun tasapainoehto antaa paraabelisegmentin pinta-alan kolmion pinta-alan avulla, kun molemmilla on sama kanta ja sama korkeus. Tässä Arkhimedes poikkeaa teoksessa Tasokuvioiden tasapaino esitetystä menettelystä siinä, että painopisteet sijaitsevat vaakatason alapuolella.
Toinen, geometrinen todistus eli paraabelin neliöiminen esitetään propositioissa 18–24. Se perustuu puhtaaseen geometriaan, erityisesti geometrisen sarjan summan käyttöön. Arkhimedes jakaa alueen äärettömän moneen kolmioon, joiden pinta-alat muodostavat geometrisen sarjan. Tämän jälkeen hän laskee tämän sarjan summan ja osoittaa sen olevan paraabelisegmentin pinta-ala.Arkhimedes: Paraabelin neliöiminen, propositiot 18–24.
Johdantopropositiot
Propositio 1. Jos paraabelin pisteestä piirretään suora, joka on joko itse paraabelin akseli tai akselin suuntainen, kuten , ja jos on jänne, joka on yhdensuuntainen paraabelin tangentille pisteessä ja leikkaa :n pisteessä , niin
Käänteisesti, jos , jänne on yhdensuuntainen tangentille pisteessä . Propositio 2. Jos paraabelissa on jänne, joka on yhdensuuntainen tangentille pisteessä , ja jos pisteen kautta piirretään suora, joka on joko itse akseli tai akselin suuntainen ja joka leikkaa :n pisteessä ja paraabelin tangentin pisteessä pisteessä , niin
Propositio 3. Jos paraabelin pisteestä piirretään suora, joka on joko itse akseli tai akselin suuntainen, kuten , ja jos kahdesta muusta paraabelin pisteestä piirretään suorat, jotka ovat yhdensuuntaisia tangentille pisteessä ja leikkaavat :n pisteissä vastaavasti, niin
Propositio 4. Jos on minkä tahansa paraabelisegmentin kanta ja segmentin kärki, ja jos minkä tahansa muun pisteen kautta kulkeva halkaisija leikkaa :n pisteessä ja :n (tarvittaessa jatkettuna) pisteessä , niin
Propositio 5. Jos on minkä tahansa paraabelisegmentin kanta, segmentin kärki ja sen halkaisija, ja jos minkä tahansa muun pisteen kautta kulkeva paraabelin halkaisija leikkaa :n pisteessä ja tangentin pisteessä pisteessä , niin
Mekaaninen todistus pienoiskuva|Arkhimedeen ensimmäinen todistus parabolisen segmentin pinta-alasta.
Propositiot 6 ja 7. Oletetaan, että vipu on asetettu vaakasuoraan ja tuettu keskikohdastaan . Olkoon kolmio , jossa kulma on suora (propositio 6) tai tylppä (propositio 7), ripustettuna pisteistä ja siten, että on kiinnitetty pisteeseen ja on samalla pystysuoralla suoralla kuin . Jos on sellainen pinta-ala, joka :sta ripustettuna pitää järjestelmän tasapainossa, niin
Propositiot 8 ja 9. Oletetaan vipu asetetuksi vaakasuoraan ja tuetuksi keskikohdastaan O. Olkoon kolmio , jossa kulma on suora (propositio 8) tai tylppä (propositio 9), ripustettuna pisteistä ja suoralla siten, että kulmapiste on kiinnitetty pisteeseen ja sivu on samalla pystysuoralla suoralla kuin . Olkoon sellainen pinta-ala, että
Tällöin, jos pinta-ala P ripustettuna pisteestä pitää järjestelmän tasapainossa, mutta . Propositiot 10 ja 11. Oletetaan vipu asetetuksi vaakasuoraan ja tuetuksi keskikohdastaan . Olkoon trapetsoidi, joka voidaan asettaa siten, että sen yhdensuuntaiset sivut ja ovat pystysuoria, on pystysuoraan :n alapuolella ja muut sivut ja kohtaavat pisteessä . Olkoon :n ja :n leikkauspiste , ja trapetsoidi ripustettuna kiinnittämällä pisteeseen ja pisteeseen . Oletetaan lisäksi, että on sellainen pinta-ala, että
Tällöin, jos on se pinta-ala, joka :sta ripustettuna pitää järjestelmän tasapainossa,
Sama pätee erikoistapauksessa, jossa kulmat ja ovat suoria ja näin ollen ja yhtyvät vastaavasti pisteisiin ja . Propositiot 12 ja 13. Jos trapetsoidi asetetaan kuten edellisissä propositioissa, paitsi että on pystysuoraan pisteen alapuolella suoralla eikä pisteen alapuolella, ja trapetsoidi ripustetaan pisteestä , oletetaan että ja ovat pinta-aloja siten, että
ja
Jos tällöin pinta-ala ripustettuna pisteestä pitää järjestelmän tasapainossa, mutta . Propositiot 14 ja 15. Olkoon minkä tahansa paraabelisegmentin kanta. Jos pisteistä ja piirretään kaksi suoraa, jotka ovat yhdensuuntaisia paraabelin akselin kanssa ja sijaitsevat :n samalla puolella kuin segmentti, niin joko (1) kummassakin pisteessä ja muodostuvat kulmat ovat suoria kulmia, tai (2) toinen on terävä ja toinen tylppä. Jälkimmäisessä tapauksessa olkoon pisteessä oleva kulma tylppä. Jaetaan mihin tahansa määrään yhtä suuria osia pisteissä . Piirretään pisteiden kautta paraabelin halkaisijat, jotka leikkaavat tangentin pisteessä pisteissä ja itse paraabelin pisteissä . Yhdistetään pisteet ja , ja , ..., ja ; nämä suorat leikkaavat suorat pisteissä . Olkoon halkaisijoiden ja pisteen kautta piirretyn, halkaisijoita vastaan kohtisuoran suoran leikkauspisteet vastaavasti. (Erityistapauksessa, jossa itse on kohtisuorassa halkaisijoihin nähden, piste yhtyy pisteeseen , piste pisteeseen ja niin edelleen.) On todistettava, että
ja
Propositio 16. Olkoon paraabelisegmentin kanta siten, että ei ole kauempana kuin paraabelin kärjestä. Piirretään :n kautta suora , joka on yhdensuuntainen paraabelin akselin kanssa ja leikkaa tangentin pisteessä pisteessä . On todistettava, että
Propositio 17. Minkä tahansa paraabelisegmentin pinta-ala on siitä kolmiosta, jolla on sama kanta kuin segmentillä ja sama korkeus.
Arkhimedes esittää tutkielmassaan Mekaanisten teoreemojen menetelmä täydellisemmän todistuksen samasta mekaniikan tasapainolain avulla.
Geometrinen todistus pienoiskuva|Arkhimedeen toinen todistus parabolisen segmentin pinta-alasta.
Propositio 18. Jos on paraabelisegmentin kanta ja :n keskipiste, ja jos :n kautta kulkeva halkaisija leikkaa käyrän pisteessä , niin on segmentin kärki. Propositio 19. Jos on paraabelin jänne, jonka halkaisija puolittaa pisteessä , ja jos on halkaisija, joka puolittaa :n pisteessä , ja on :stä :lle piirretty ordinaatta, niin . Propositio 20. Jos on paraabelisegmentin kanta ja sen kärki, niin kolmio on suurempi kuin puolet segmentistä . Propositio 21. Jos on minkä tahansa paraabelisegmentin kanta ja sen kärki, ja jos on :n katkaisemasta segmentistä syntyvän segmentin kärki, niin
Propositio 22. Jos on olemassa pinta-alojen sarja , joista kukin on neljä kertaa seuraava, ja jos suurin, , on yhtä suuri kuin paraabelisegmenttiin piirretty kolmio , jolla on sama kanta ja sama korkeus kuin segmentillä, niin
Propositio 23. Annettu pinta-alojen sarja , jossa on suurin ja kukin on neljä kertaa seuraava, niin
Propositio 24. Jokainen paraabelin ja jänteen rajaama segmentti on yhtä suuri kuin siitä kolmiosta, jolla on sama kanta kuin segmentillä ja sama korkeus.
Selitys
Todistuksen pääidea on parabelisegmentin paloittelu äärettömän moneen kolmioon. Kukin näistä kolmioista on piirretty omaan paraabelisegmenttiinsä samalla tavalla kuin sininen kolmio on yllä olevassa kuvassa piirretty suureen segmenttiin.
Kolmioiden pinta-alat pienoiskuva
Propositioissa 18–21 Arkhimedes osoittaa, että jokaisen vihreän kolmion pinta-ala on sinisen kolmion pinta-alasta, joten molempien vihreiden kolmioiden yhteenlaskettu pinta-ala on sinisen kolmion pinta-alasta. Nykyaikaisesta näkökulmasta tämä johtuu siitä, että vihreän kolmion leveys on ja korkeus sinisen kolmion vastaavista mitoista.
Samaa päättelyä seuraten kukin neljästä keltaisesta kolmiosta on pinta-alaltaan vihreän kolmion pinta-alasta eli sinisen kolmion pinta-alasta; niiden yhteispinta-ala on siten sinisen kolmion pinta-alasta. Jokainen punaisesta kolmiosta on puolestaan pinta-alaltaan keltaisen kolmion pinta-alasta, ja niiden yhteispinta-ala on sinisen kolmion pinta-alasta; ja niin edelleen. Tyhjennysmenetelmää käyttäen seuraa, että parabelisegmentin kokonaispinta-ala on
Tässä tarkoittaa suuren sinisen kolmion pinta-alaa; toinen termi vastaa kahden vihreän kolmion yhteispinta-alaa, kolmas termi neljän keltaisen kolmion yhteispinta-alaa ja niin edelleen. Tämä voidaan kirjoittaa muotoon
Sarjan summa
Todistuksen viimeistelemiseksi Arkhimedes osoittaa, että
pienoiskuva|Arkhimedeen todistus, että . Yllä oleva kaava on geometrinen sarja: kukin peräkkäinen termi on neljäsosa edellisestä. Nykyaikaisessa matematiikassa tämä on erityistapaus geometrisen sarjan summakaavasta.
Arkhimedes laskee summan täysin geometrisin keinoin. Täsmällisesti ottaen hän tarkastelee sarjan osasummia ja käyttää Arkhimedeen aksioomaa osoittaakseen, että osasummat lähestyvät mielivaltaisen lähelle arvoa ; tämä on loogisesti yhtäpitävää nykyaikaisen äärettömän sarjan summaamisen kanssa.
Oheinen kuva havainnollistaa menetelmää: siinä yksikköneliö on jaettu äärettömään määrään pienempiä neliöitä. Kukin peräkkäinen violetti neliö on pinta-alaltaan neljäsosa edellisestä, ja violettien neliöiden kokonaispinta-ala on
Violetit neliöt ovat kuitenkin yhteneviä jommankumman keltaisten neliöiden joukon kanssa ja peittävät siten yksikköneliön pinta-alasta. Tästä seuraa, että yllä oleva sarja summautuu arvoon (sillä ).
Lähteet
Kirjallisuutta
Archimedes: Quadrature of a Parabola. Teoksessa Archimedes: Quadrature of the Parabola. Teoksessa
Aiheesta muualla
Luokka:Arkhimedeen teokset