ルジャンドル予想

ルジャンドル予想（ルジャンドルよそう、）とは、任意の自然数 について、 と の間には必ず素数が存在するという予想である。フランスの数学者アドリアン＝マリ・ルジャンドルにより提起された。2026年現在、未解決問題となっている。

概要 ルジャンドル予想は素数の間隔に関連した予想の一つである。もし予想が正しいとすれば、素数 と次に大きい素数までの間隔は、高々 のオーダーになる。スウェーデンの数学者ハラルド・クラメールは、素数の間隔がより小さく のオーダーになると予想した。これが正しいとすれば、十分大きな に関してルジャンドル予想が成り立つことになる。

素数定理より、 と の間に含まれる素数の個数（）は、 に漸近する。これは が大きくなるに従い増加するから、ルジャンドル予想に信憑性を与えている。

進展 1975年に陳景潤が、任意の自然数 に対し と の間には必ず素数か半素数が存在することを示したhttps://mathworld.wolfram.com/LegendresConjecture.html。

また予想と類似の結果として、イギリスの数学者アルバート・イングハムは、 が十分大きければ と の間には必ず素数が存在することを示している。

他にも、十分大きな について、区間 は必ず素数を含むということが証明されている。ここで はランダウのO-記法である。

計算により、 までの自然数に対し予想の正しさが確かめられているJens Kruse Andersen, Maximal Prime Gaps。もし の付近に反例があるとすれば、通常の5000万倍近い大きさの素数ギャップが存在することになる。

関連項目 ベルトランの仮説 リーマン予想 アンドリカの予想

脚注